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1、线性代数知识点全面总结概念特殊矩阵m×n个数aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)构成的数表单位矩阵:主对角线元素都是1,其余元素都是零的n阶方阵E对角矩阵:主对角元素是其余元素都是零的n阶方阵Λ对称矩阵:一、矩阵主要知识网络图AT=A反对称矩阵:AT=－A矩阵运算A+B=(aij+bij)kA=(kaij)AB=C其中A与B同型的第i行是A的第i列.
2、A
3、=detA,A必须是方阵.伴随矩阵n阶行列式的
4、A
5、所有元素的代数余子式构成的矩阵AT:AT3、矩阵的转置(AT)T=A;(2)(A+B)T=AT+BT;(3)(kA)T=kAT;(4)(A
6、B)T=BTAT.4、矩阵的逆(A-1)-1=A;(2)(kA)-1=k-1A-1;(3)(AB)-1=B-1A-1;(4)(AT)-1=(A-1)T.5、伴随矩阵AA*=A*A=
7、A
8、E;(2)(kA)*=kn-1A*;(3)(A*)-1=(A-1)*=
9、A
10、-1A;(4)(AT)*=(A*)T.6、n阶方阵的行列式
11、AT
12、=
13、A
14、;(2)
15、kA
16、=kn
17、A
18、;(3)
19、AB
20、=
21、A
22、
23、B
24、;(4)
25、A-1
26、=
27、A
28、-1;(5)
29、A*
30、=
31、A
32、n-1.四、典型例题1、方阵的幂运算2、求逆矩阵3、解矩阵方程4、A*题方阵的行列式行列式是一个重要的数学工具，
33、在代数学中有较多的应用。应当在正确理解n阶行列式的概念，掌握行列式性质的基础上，熟练地计算3阶、4阶行列式，也要会计算简单的n阶行列式。还要会运用行列式求解n个方程n个未知数的n元一次线性方程组。计算行列式的基本方法是用按行（列）展开定理，通过降阶来实现，但在展开之前往往先运用行列式的性质，对行列式作恒等变形，以期有较多零或公因式，这样可简化计算。要熟练运用计算行列式的典型的计算方法和计算技巧。一、行列式主要知识点网络图概念排列行列式逆序，奇排列，偶排列一般项是不同行不同列元素乘积的代数和.●D=DT●互换行列式的两行(列)，行列式变号。●某行有公因子可
34、以提到行列式的外面。●若行列式中某一行(列)的所有元素均为两元素之和，则该行列式可拆成两个行列式.●某行(列)的k倍加到另一行(列)，行列式不变。行列式知识点性质展开计算●行展开●列展开●定义法●递推法●加边法●数学归纳法●公式法●拆项法●乘积法●齐次线性方程组有非零解的充要条件●克拉默法则应用二、主要定理1、行列式的展开定理。=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin(i=1,2,…,n)=a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj2、行列式展开定理的推论。ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn=0(i≠j)a1jA1k+a2jA2k+…+
35、anjAnk=0(j≠k)3、非齐次线性方程组克拉默法则。其中Dj(j=1,2,…,n)是把系数行列式D中的第j列的元素用方程组的常数项替换后得到的n阶行列式。的系数行列式D≠0，原方程组有惟一解4、齐次线性方程组的克拉默法则。若齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必为零。三、重要公式四、典型例题1、3～4阶的行列式2、简单的n阶行列式3、用公式可逆矩阵与初等变换矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运算，他在解线性方程组、求逆矩阵及矩阵理论的探讨中都起到了十分重要的作用。熟练掌握矩阵的初等变换，了解初等矩阵的性质和等价矩阵的概念，理解矩阵秩的概念，熟
36、练掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法。理解齐次线性方程组有非零解充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件。深刻理解线性方程组通解的概念，掌握用初等变换求解线性方程组的方法。一、主要知识网络图矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换初等方阵矩阵的秩线性方程组矩阵的初等变换概念1.对换矩阵的i,j两行（列）.2.用k≠0乘矩阵的第i行（列）.3.把某i行（列）的k倍加到另一行（列）的对应元素上去.性质1.初等变换不改变矩阵的秩.2.对A经过有限次初等变换得到B，则A等价B.用途求逆，求矩阵A的秩、最简型、标准形.求线性方程组的解.初等方阵性质初等
37、方阵都是可逆矩阵，其逆仍然是同种的初等矩阵.对Am×n矩阵实施一次行初等变换，相当于对A左乘一个相应的m阶初等方阵；对A实施一次列初等变换，相当于对A右乘一个相应的n阶初等方阵.任何可逆矩阵都可以表为若干个初等方阵的乘积.概念对单位矩阵实施一次初等变换而得到的矩阵称为初等方阵.三种初等变换对应三种初等方阵.矩阵的秩概念k阶子式.秩：矩阵非零子式的最高阶数.性质零矩阵的秩为零.R(A)=R(AT)若B可逆，则R(AB)=R(A).R(A+B)≤R(A)+R(B)R(AB)≤min{R(A),R(B)}R(AB)≥R(A)+R(B)－n若AB=0,则R(A)
38、+R(B)≤n线性方程组有非零解R(A)
