考研线性代数知识点全面总结材料

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1、实用标准文档《线性代数》复习提纲第一章、行列式（值，不是矩阵）1．行列式的定义：用个元素组成的记号称为n阶行列式。　（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和；　（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半；2．行列式的计算一阶

2、α

3、=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则；N阶（n3）行列式的计算：降阶法　定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。　方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。特殊情况：上、下三角形行列式、对角形行列式的值

4、等于主对角线上元素的乘积；行列式值为0的几种情况：Ⅰ　行列式某行（列）元素全为0；Ⅱ　行列式某行（列）的对应元素相同；Ⅲ　行列式某行（列）的元素对应成比例；Ⅳ　奇数阶的反对称行列式。3.概念：全排列、排列的逆序数、奇排列、偶排列、余子式、代数余子式定理：一个排列中任意两个元素对换，改变排列的奇偶性。奇排列变为标准排列的对换次数为基数，偶排列为偶数。n阶行列式也可定义：，t为的逆序数4.行列式性质：1、行列式与其转置行列式相等。2、互换行列式两行或两列，行列式变号。若有两行(列)相等或成比例，则为行列式0。3、行列式某行（列）乘数k

5、,等于k乘此行列式。行列式某行（列）的公因子可提到外面。文案大全实用标准文档4、行列式某行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和。5、行列式某行（列）乘一个数加到另一行（列）上，行列式不变。6、行列式等于他的任一行（列）的各元素与其对应代数余子式的乘积之和。（按行、列展开法则）7、行列式某一行（列）与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和为0.5.克拉默法则：：若线性方程组的系数行列式，则方程有且仅有唯一解。：若线性方程组无解或有两个不同的解，则系数行列式D=0.：若齐次线性方程组的系数行列式，则其没有非零解。

6、：若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式D=0。6.，范德蒙德行列式,，（两式要会计算）题型：Page21（例13）第二章、矩阵1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；2．矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（2）关于乘法的几个结论：①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）；②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；③若A、B为同阶方阵，则

7、AB

8、=

9、A

10、*

11、B

12、；④

13、kA

14、=*

15、A

16、。只有方阵才有幂运算。（3）转置：（kA）T=kAT，文案大全实用标准

17、文档（4）方阵的行列式：，，（5）伴随矩阵：，，的行元素是A的列元素的代数余子式（6）共轭矩阵：，，，（7）矩阵分块法：，3．对称阵：方阵。对称阵特点：元素以对角线为对称轴对应相等。3．矩阵的秩（1）定义：非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；（2）秩的求法：一般不用定义求，而用下面结论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。（3）0≤R()≤min{m,n}；；若，则R(A)=R(B)；若P、Q可逆，则R

18、(PAQ)=R(A);max{R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)+R(B)；若AB=C，R(C)≤min{R(A),R(B)}4．逆矩阵　（1）定义：A、B为n阶方阵，若AB＝BA＝I，称A可逆，B是A的逆矩阵（满足半边也成立）；　（2）性质：，；(AB的逆矩阵，你懂的)（注意顺序）　（3）可逆的条件：①　

19、A

20、≠0；　②r(A)=n;  ③A->I;　（4）逆的求解：伴随矩阵法；②初等变换法（A:I）->(施行初等变换)（I:）　（5）方阵A可逆的充要条件有：存在有限个初等矩阵，…，，使第三章、初等变换与线性方程组1、

21、初等变换：，，性质：初等变换可逆。等价：若A经初等变换成B，则Ａ与Ｂ等价，记作，等价关系具有反身性、对称性、传递性。文案大全实用标准文档初等矩阵：由单位阵E经过一次初等变换得到的矩阵。定理：对施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘相应的m阶初等矩阵；对施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘相应的n阶初等矩阵。等价的充要条件：R(A)=R(B)=R(A,B)的矩阵Ａ、Ｂ等价存在m阶可逆矩阵P、n阶可逆矩阵Q，使得PAQ=B。线性方程组解的判定定理：(1)r(A,b)≠r(A) 无解；(2)r(A,b)=r(A)=n 有唯一解；(3)

22、r(A,b)=r(A)

23、A

24、≠0 只有零解；(2)

25、A

26、=0  有非零解2．齐次线性方程组（1）