高等代数知识点归纳总结.pdf

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1、第一学期第一次课第一章代数学的经典课题§1若干准备知识1.1.1代数系统的概念一个集合，如果在它里面存在一种或若干种代数运算，这些运算满足一定的运算法则，则称这样的一个体系为一个代数系统。1.1.2数域的定义定义（数域）设K是某些复数所组成的集合。如果K中至少包含两个不同的复数，且K对复数的加、减、乘、除四则运算是封闭的，即对K内任意两个数a、b（a可以等于b），必有abK，abK，且当b0时，a/bK，则称K为一个数域。例1.1典型的数域举例：复数域C；实数域R；有理数域Q；Gauss数域：Q(i)={abi

2、

3、a,b∈Q}，其中i=1。命题任意数域K都包括有理数域Q。证明设K为任意一个数域。由定义可知，存在一个元素aK，且a0。于是a0aaK，1K。a进而mZ0,m111K。mmm最后，m,nZ，K，0K。这就证明了QK。证毕。0nnn1.1.3集合的运算，集合的映射（像与原像、单射、满射、双射）的概念定义(集合的交、并、差)设S是集合，A与B的公共元素所组成的集合成为A与B的交集，记作AB；把A和B中的元素合并在一起组成的集合成为A与B的并集，记做AB；从集合A中去掉

4、属于B的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为A与B的差集，记做AB。定义（集合的映射）设A、B为集合。如果存在法则f，使得A中任意元素a在法则f下对应B中唯一确定的元素（记做f(a)），则称f是A到B的一个映射，记为f:AB,af(a).如果f(a)bB，则b称为a在f下的像，a称为b在f下的原像。A的所有元素在f下的像构成的B的子集称为A在f下的像，记做f(A)，即f(A)f(a)

5、aA。若aa'A,都有f(a)f(a),'则称f为单射。若bB,都存在aA，使得f(a)b，则称f为满射。

6、如果f既是单射又是满射，则称f为双射，或称一一对应。1.1.4求和号与求积号1．求和号与乘积号的定义.为了把加法和乘法表达得更简练，我们引进求和号和乘积号。设给定某个数域K上n个数a,a,,a，我们使用如下记号：12nna1a2anai,i1na1a2anai.i1当然也可以写成a1a2......anai,1ina1a2......anai.1in2.求和号的性质.容易证明，nnaiaii11innn(aibi)aibii11ii1nmmn

7、aijaiji11j1ji1事实上，最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状：aa......a11121maa......a21222m..................aa......an1n2nm分别先按行和列求和，再求总和即可。第一学期第二次课§2一元高次代数方程的基础知识1.2.1高等代数基本定理及其等价命题1.高等代数基本定理设K为数域。以K[x]表示系数在K上的以x为变元的一元多项式的全体。如果nn1f(x)axax......aK[x],(a0)，则称n为f(x)的次数，

8、记为01n0degf(x)。定理（高等代数基本定理）C[x]的任一元素在C中必有零点。nn1命题设f(x)axax......a(,a0，n)1是C上一个n次多项式，a01n0是一个复数。则存在C上首项系数为a的n1次多项式q(x)，使得0f(x)q(x)(xa)f(a)证明对n作数学归纳法。推论x为f(x)的零点，当且仅当(xx)为f(x)的因式（其中degf(x)1）。00nn1命题（高等代数基本定理的等价命题）设f(x)axax......a01n(a0，n)1为C上的n次多项

9、式，则它可以分解成为一次因式的乘积，即存在n个复0数a,a,......,a，使12nf(x)a(x)(x)......(x)012n证明利用高等代数基本定理和命题1.3，对作数学归纳法。n2．高等代数基本定理的另一种表述方式定义设K是一个数域，x是一个未知量，则等式nn1axax......axa0（1）01n1n（其中a,a,......,aK,a0）称为数域K上的一个n次代数方程；如果以xK01n0带入（1）式后使它变成等式，则称为方程（1）在K中的一个根。定理（高等代数基本定

10、理的另一种表述形式）数域K上的n()1次代数方程在复数域C内必有一个根。命题n次代数方程在复数域C内有且恰有n个根（可以重复）。命题（高等代数基本定理的另一种表述形式）给定C上两个n次、m次多项式nf(x)aax......ax(a)0，01nnmg(x)bbx......bx(b