高等代数知识点归纳.doc

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1、范德蒙德行列式：代数余子式和余子式的关系：分块对角阵相乘：,分块矩阵的转置矩阵：，为中各个元素的代数余子式.,,.分块对角阵的伴随矩阵：第6页共6页矩阵转置的性质：矩阵可逆的性质：伴随矩阵的性质：（无条件恒成立）矩阵的秩的性质：①≥;;≤≤④⑤≤⑥若、可逆，则；即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.⑦若；若⑧等价标准型.⑨≤,≤≤⑩,第6页共6页标准正交基个维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1..记为：④向量的长度⑤是单位向量.即长度为的向量.内积的性质：①正定性②对称性③线性性，称为矩阵的迹.特征值

2、与特征向量的求法(1)写出矩阵A的特征方程，求出特征值.(2)根据得到A对应于特征值的特征向量.设的基础解系为其中.则A对应于特征值的全部特征向量为其中为任意不全为零的数.3.与相似（为可逆矩阵）与正交相似（为正交矩阵）可以相似对角化与对角阵相似.（称是的相似标准形）7.矩阵对角化的判定方法①n阶矩阵A可对角化(即相似于对角阵)的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.这时,为的特征向量拼成的矩阵，为对角阵,主对角线上的元素为的特征值.设为对应于的线性无关的特征向量,则有：.第6页共6页②可相似对

3、角化，其中为的重数恰有个线性无关的特征向量.：当为的重的特征值时，可相似对角化的重数基础解系的个数.③若阶矩阵有个互异的特征值可相似对角化.正交矩阵③正交阵的行列式等于1或-1；⑤两个正交阵之积仍是正交阵；⑥的行（列）向量都是单位正交向量组.施密特正交规范化线性无关,单位化：第6页共6页1.二次型其中为对称矩阵，与合同.（）求C(AI)→(BC^T)这个变换先进行行变换再进行一致的列变换最后求得C和C^T正惯性指数二次型的规范形中正项项数负惯性指数二次型的规范形中负项项数④两个矩阵合同它们有相同的正

4、负惯性指数他们的秩与正惯性指数分别相等.⑤两个矩阵合同的充分条件是：与等价⑥两个矩阵合同的必要条件是：2.经过化为标准形.正交变换法配方法（1）若二次型含有的平方项，则先把含有的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形;（2）若二次型中不含有平方项，但是(),则先作可逆线性变换第6页共6页,3.正定二次型不全为零，.正定矩阵正定二次型对应的矩阵.4.为正定二次型（之一成立）：（1），；（2）的特征值全大于；（3）的正惯性指数为；（4）的所有

5、顺序主子式全大于；（5）与合同，即存在可逆矩阵使得；（6）存在可逆矩阵，使得；第6页共6页