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1、Stephen高等代数知识点梳理第四章矩阵一、矩阵及其运算1、矩阵的概念(1)定义:由s×n个数a(i=1,2,s;j=1,2,n)排成s行n列的数表ija11a1n,称为s行n列矩阵,简记为A=(aij)s×n。aas1sn(2)矩阵的相等:设A=(a),B=(a),如果m=l,n=k,且a=b,对ijm×nijl×kijiji=1,2,m;j=1,2,n都成立,则称A与B相等,记A=B。(3)各种特殊矩阵:行矩阵,列矩阵,零矩阵,方阵,(上)下三角矩阵,对角矩阵,数量矩阵,单位矩阵。2、矩阵的运算a11a1nb11b
2、1na11+b11a1n+b1n(1)矩阵的加法:+=。aabba+ba+bs1sns1sns1s1snsn运算规律:①A+B=B+A③A+O=A②(A+B)+C=A+(B+C)④A+(−A)=Oa11a1nka11ka1n(2)数与矩阵的乘法:k=aakakas1sns1sn运算规律:①(k+l)A=kA+lA③k(lA)=(kl)A②k(A+B)=kA+kB④A+(−A)=Oa11a1nb11b1mc11c1m
3、(3)矩阵的乘法:=其中aabbccs1snn1nms1sm-1-Stephenc=ab+ab++ab,i=1,2,s;j=1,2,m。iji11ii22iinnj运算规律:①(AB)C=A(BC)③(B+C)A=BA+CA②A(B+C)=AB+AC④k(AB)=A(kB)=(kA)B一般情况,①AB≠BA②AB=AC,A≠0,⇒B=C③AB=0⇒A=0或A=0a11a1na11a1s(4)矩阵的转置:A=,A的转置就是指矩阵A'=aaaa
4、s1snn1ns运算规律:①(A')'=A③(AB)'=B'A'②(A+B)'=A'+B'④(kA)'=kA'aa111naa111n(5)方阵的行列式:设方阵A=,则A的行列式为
5、
6、A=。aaaan1nnn1nn运算规律:n①
7、A'
8、=
9、A
10、②
11、kA
12、=k
13、A
14、③
15、AB
16、=
17、A
18、
19、B
20、=
21、BA
22、这里A,B均为n级方阵。二、矩阵的逆1、基本概念(1)矩阵可逆的定义:n级方阵A称为可逆的,如果有n级方阵B,使得AB=BA=E,这里E是单位矩阵。a11a1n(2)伴随矩阵:设Aij是矩阵A=中元素aij
23、的代数余子式,矩阵aan1nn-2-StephenA11An1*A=称为A的伴随矩阵。AA1nnn1、基本性质*−1A(1)矩阵A可逆的充分必要条件是A非退化(
24、A
25、≠0),而A=
26、A
27、'−1−1−1−1−1(2)如果矩阵A,B可逆,那么A与AB也可逆,且(A')=(A)',(AB)=BA。(3)设A是s×n矩阵,如果P是s×s可逆矩阵,Q是n×n可逆矩阵,那么rank(A)=rank(PA)=rank(AQ)三、矩阵分块A10B10对于两个有相同分块的准对角矩阵A=,B=如果它们相0A0B
28、ll应的分块是同级的,则A1B10(1)AB=;0ABllA1+B10(2)A+B=;0A+Bll(3)
29、A
30、=
31、A
32、
33、A
34、
35、A
36、;12l−1A01−1(4)A可逆的充要条件是A,A,,A可逆,且此时,A=。12l0A−1l四、初等变换与初等矩阵1、基本概念(1)初等变换:初等行列变换称为初等变换所得到的矩阵。①用一个非零的数k乘矩阵的第i行(列)记作r×k(c×k)ii②互换矩阵中i,j两行(列)的位置,记作r↔r(c↔c)ijij-3-Stephen③将第i行(列)的k倍加到第j行(列
37、)上,记作r+kr(c+kc)称为矩阵的三种初jiij等行(列)矩阵。(2)初等方阵:单位矩阵经一次初等变换所得到的矩阵。2、基本性质(1)对一个s×n矩阵A作一次初等行变换就相当于在A的左边乘上相应的s×s初等矩阵;对A作一次初等列变换就相当于在A的右边乘上相应的n×n初等矩阵。10000100(2)任意一个s×n矩阵A都与一形式为0010的等价,它称为矩阵00000000A的标准型,主对角线上1的个数等于A的秩。(3)n级矩阵A为可逆的充分必要条件是,它能表示成一些