《高等代数》知识点梳理

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1、Stephen高等代数知识点梳理第四章矩阵一、矩阵及其运算1、矩阵的概念（1）定义：由s×n个数a（i=1,2,s；j=1,2,n）排成s行n列的数表ija11a1n，称为s行n列矩阵，简记为A=(aij)s×n。aas1sn（2）矩阵的相等：设A=(a)，B=(a)，如果m=l，n=k，且a=b，对ijm×nijl×kijiji=1,2,m；j=1,2,n都成立，则称A与B相等，记A=B。（3）各种特殊矩阵：行矩阵，列矩阵，零矩阵，方阵，（上）下三角矩阵，对角矩阵，数量矩阵，单位矩阵。2、矩阵的运算a11a1nb11b

2、1na11+b11a1n+b1n（1）矩阵的加法：+=。aabba+ba+bs1sns1sns1s1snsn运算规律：①A+B=B+A③A+O=A②(A+B)+C=A+(B+C)④A+(−A)=Oa11a1nka11ka1n（2）数与矩阵的乘法：k=aakakas1sns1sn运算规律：①(k+l)A=kA+lA③k(lA)=(kl)A②k(A+B)=kA+kB④A+(−A)=Oa11a1nb11b1mc11c1m

3、（3）矩阵的乘法：=其中aabbccs1snn1nms1sm-1-Stephenc=ab+ab++ab，i=1,2,s；j=1,2,m。iji11ii22iinnj运算规律：①(AB)C=A(BC)③(B+C)A=BA+CA②A(B+C)=AB+AC④k(AB)=A(kB)=(kA)B一般情况，①AB≠BA②AB=AC，A≠0，⇒B=C③AB=0⇒A=0或A=0a11a1na11a1s（4）矩阵的转置：A=，A的转置就是指矩阵A'=aaaa

4、s1snn1ns运算规律：①(A')'=A③(AB)'=B'A'②(A+B)'=A'+B'④(kA)'=kA'aa111naa111n（5）方阵的行列式：设方阵A=，则A的行列式为

5、

6、A=。aaaan1nnn1nn运算规律：n①

7、A'

8、=

9、A

10、②

11、kA

12、=k

13、A

14、③

15、AB

16、=

17、A

18、

19、B

20、=

21、BA

22、这里A，B均为n级方阵。二、矩阵的逆1、基本概念（1）矩阵可逆的定义：n级方阵A称为可逆的，如果有n级方阵B，使得AB=BA=E，这里E是单位矩阵。a11a1n（2）伴随矩阵：设Aij是矩阵A=中元素aij

23、的代数余子式，矩阵aan1nn-2-StephenA11An1*A=称为A的伴随矩阵。AA1nnn1、基本性质*−1A（1）矩阵A可逆的充分必要条件是A非退化（

24、A

25、≠0），而A=

26、A

27、'−1−1−1−1−1（2）如果矩阵A，B可逆，那么A与AB也可逆，且(A')=(A)'，(AB)=BA。（3）设A是s×n矩阵，如果P是s×s可逆矩阵，Q是n×n可逆矩阵，那么rank(A)=rank(PA)=rank(AQ)三、矩阵分块A10B10对于两个有相同分块的准对角矩阵A=，B=如果它们相0A0B

28、ll应的分块是同级的，则A1B10（1）AB=；0ABllA1+B10（2）A+B=；0A+Bll（3）

29、A

30、=

31、A

32、

33、A

34、

35、A

36、；12l−1A01−1（4）A可逆的充要条件是A,A,,A可逆，且此时，A=。12l0A−1l四、初等变换与初等矩阵1、基本概念（1）初等变换：初等行列变换称为初等变换所得到的矩阵。①用一个非零的数k乘矩阵的第i行（列）记作r×k(c×k)ii②互换矩阵中i，j两行（列）的位置，记作r↔r(c↔c)ijij-3-Stephen③将第i行（列）的k倍加到第j行（列

37、）上，记作r+kr(c+kc)称为矩阵的三种初jiij等行（列）矩阵。（2）初等方阵：单位矩阵经一次初等变换所得到的矩阵。2、基本性质（1）对一个s×n矩阵A作一次初等行变换就相当于在A的左边乘上相应的s×s初等矩阵；对A作一次初等列变换就相当于在A的右边乘上相应的n×n初等矩阵。10000100（2）任意一个s×n矩阵A都与一形式为0010的等价，它称为矩阵00000000A的标准型，主对角线上1的个数等于A的秩。（3）n级矩阵A为可逆的充分必要条件是，它能表示成一些