高等代数重点技巧总结

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1、TheLegendaryBookonLinearAlgebra目录第零章第一章第二章第三章第四章第五章第六章第七章第八章番外话................................将打洞进行到底..........................Jordan标准形总结秩不等式........................127..............................12交结数：刻画相似程度的不变量................16同时上三角化............................19覆盖定理..........................

2、....23....................25有理标准形和交换的矩阵解题的艺术.............................30I0番外话先说一件很囧的事。两年前我给北京大学化学学院一年级的学弟学妹们上高数的习题课。开学第一次课来了三十个人，到期末的最后一次课只剩下十三个人。虽说习题课不管讲的好坏都拿那份钱，学生也不会拿鸡蛋西红柿拍你，但是看着来上课的人越来越少确实对自尊是一种打击。特别让我印象深刻的是一个相貌气质都很不错的MM（那十三个人之一），她每次课都在下面很认真的听，很安静，整个学期她只站起来问了三次问题，但是每一次都把我问倒了。很显然这是对我的进一步打击。我很无

3、奈的承认自己不配拿那份津贴，就转行做了本学院高等代数课的助教。这次给我打击的是另一个很清纯的MM。有很多次我在黑板上出了题目，然后微笑着、踱着步子显示高深莫测的时候，她都举手表示已经做出了答案。接下来我只能用凝固的微笑和景仰的目光看着她在全班面前用柔柔的声音解释如何如何。不过总的来说，我还是成功的Hold住了局面，当时一个学年下来到课人数无明显下滑。习题课上多了，自己也有一些体会。讲课跟做题是不一样的，你必须脑子里时刻清楚自己在讲什么，接下来要讲什么，然后把它们用平缓的节奏一遍讲正确。你讲的语气速度快了，或者思维有了跳跃，学生一下跟不上，那么你后面的内容他们听起来都很茫然。当我一时不知道说什么

4、好的时候，我会面色如常地擦擦黑板，换换粉笔，整理一下自己的思路，绝不轻易开口。因为如果你不小心说错了话，那比没说要糟糕一百倍：接下来你要用十句话来挽救你的错误，学生很可能就被绕晕了。即使是“嗯”“啊”“那么”这些口头禅，也会暴露你的思路的紊乱。高深莫测永远是Hold、、局面的不二法宝。我曾经开玩笑地给学生说，我讲课有一个优点，就是从来没有口头禅。结果大家都笑了。我不解，然后大家异口同声的告诉我：老师，你讲课有一个口头禅，就是“很显然”（囧）。希望我在这个文档里没有再犯这个错误:P。本文档脱胎于以前的同名文档，经过多次修改以后与最初的版本相比已经面目全非。但是变薄变精炼的趋势一直没有改变。那些武

5、侠小说中出现的秘笈宝典，几乎无一例外都是“薄薄的一本小册子”，因为浓缩的才是精华。本文档也照此看齐，不求全，但求精致，通过几个专题来体现高等代数的方法和想法。还是那句话，与其炖上一锅大杂烩，倒不如几样精致的小菜来得有滋味。至于纯粹为难而难，或者为收录而收录的内容，就不在考虑之列了。文档薄一点，也是为了激发大家速成的欲望。本文档是本人心血之作，也算经过了教学的实践检验，因此我相信质量不会太糟，但是错误恐怕仍然难以避免。欢迎大家来信指教：xidalapuda@126.com11将打洞进行到底之所以把这一章作为整本书的开始，是因为打洞是矩阵里面最基本最重要的技巧，江湖上出来混的没有不知道的，所以怎样

6、强调它的重要性也不过分。下面这个例子就很好地说明了什么是打洞。定理1.1.设M=()ABCD是一个方阵，其中A是可逆的子方阵，那么

7、M

8、=

9、A

10、·

11、D−CA−1B

12、．结论不难记，从D出发顺时针走一圈就可以了。证明.思路就是利用A的可逆性来打洞，干掉B,C之一：))((ABAB第一行左乘以−CA−1加到第二行，−−−−−−−−−−−−−−−−−−→−1B0D−CACD也就是(In0−CA−1Im)(ABCD)(AB，−1B0D−CA)=两边求行列式即可。类似地，D可逆的时候结论变成

13、M

14、=

15、D

16、·

17、A−BD−1C

18、（从A出发顺时针走一圈）。打洞说白了就是一个降阶的过程。注意到如果把上式写成()(

19、)−1()ABIn0AB=，−1I−1BCD−CA0D−CAm这就很像一个分块的LU分解。其实真正的LU分解和这个是一回事，这里就不具体写了。如果把打洞的过程倒过来用，就是提升：定理1.2.设A是n×m矩阵，B是m×n矩阵，则AB和BA的特征多项式只差一个因子λn−m，即λm

20、λIn−AB

21、=λn

22、λIm−BA

23、．21.将打洞进行到底1.1.对称矩阵的打洞只需要对λ̸=0证明即可。我们先证明λ=1