级空间直角坐标系、矢量、向量数量积、向量积

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1、空间解析几何与矢量代数一、空间直角坐标系二、向量的概念三、向量的线性运算五、向量的模、方向角、投影四、利用坐标作向量的线性运算ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ一、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系.坐标原点坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z轴(竖轴)过空间一定点o,坐标面卦限(八个)zox面1.空间直角坐标系的基本概念Ⅰ向径在直角坐标系下坐标轴上的点P,Q,R;坐标面上的点A,B,C点M特殊点的坐标:有序数组(称为点M的坐标)原点O(0,0,0);坐标轴:坐标面:zy.x0M点的对称点关于xoy面:(x,y,z)(x,y,-z)关于x轴:(x,y,z)(x,-y,-

2、z)Q关于原点:(x,y,z)(-x,-y,-z)P(x,y,-z)(x,-y,-z)(-x,-y,-z)M(x,y,z)R表示法:向量的模:向量的大小,二、向量的概念向量:(矢量).既有大小,又有方向的量称为向量向径(矢径):自由向量:与起点无关的向量.起点为原点的向量.单位向量:模为1的向量,零向量:模为0的向量,有向线段M1M2,或a,规定:零向量与任何向量平行;若向量a与b大小相等,方向相同,则称a与b相等,记作a＝b;若向量a与b方向相同或相反,则称a与b平行,a∥b;与a的模相同,但方向相反的向量称为a的负向量,记作因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称两向量

3、共线.若k(≥3)个向量经平移可移到同一平面上,则称此k个向量共面.记作－a;三、向量的线性运算1.向量的加法三角形法则:平行四边形法则:运算规律:交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加.2.向量的减法三角不等式3.向量与数的乘法是一个数,规定:可见与a的乘积是一个新向量,记作总之:运算律:结合律分配律因此例1.设M为解:ABCD对角线的交点,定理1.设a为非零向量,则(为唯一实数)a∥b4.向量的坐标表示在空间直角坐标系下,设点M则沿三个坐标轴方向的分向量.的坐标为此式称为向量r的坐标分解式,任意向量r可用向径OM表示.四、利用坐标作向量的线性运算设则平行向量对应坐标成

4、比例:五、向量的模、方向角、投影1.向量的模与两点间的距离公式则有由勾股定理得因得两点间的距离公式:对两点与例2.在z轴上求与两点等距解:设该点为解得故所求点为及思考:如何求在xoy面上与A,B等距离之点的轨迹方程?离的点.提示:设动点为利用得且2.方向角与方向余弦设有两非零向量任取空间一点O,称=∠AOB(0≤≤)为向量的夹角.类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角.与三坐标轴的夹角,,为其方向角.方向角的余弦称为其方向余弦.记作方向余弦的性质:例3.已知两点和的模、方向余弦和方向角.解:计算向量例4.设点A位于第一卦限,解:已知角依次为求点A的坐标.则因点A在第一卦限,故

5、于是故点A的坐标为向径OA与x轴y轴的夹备用题解:因1.设求向量在x轴上的投影及在y轴上的分向量.在y轴上的分向量为故在x轴上的投影为2.设求以向量行四边形的对角线的长度.该平行四边形的对角线的长度各为对角线的长为解：为边的平三、向量的混合积一、两向量的数量积二、两向量的向量积数量积、向量积、混合积一、两向量的数量积沿与力夹角为的直线移动,1.定义设向量的夹角为,称记作数量积(点积、内积).引例.设一物体在常力F作用下,位移为s,则力F所做的功为记作故2.性质为两个非零向量,则有3.运算律(1)交换律(2)结合律(3)分配律事实上,当时,显然成立;4.数量积的坐标表示设则当为非

6、零向量时,由于两向量的夹角公式,得例1.已知三点AMB.解:则求故例2.已知向量的夹角且解：1.定义定义向量方向:(叉积、外积)记作且符合右手规则模:向量积,称思考:右图三角形面积S＝二、两向量的向量积2.性质为非零向量,则∥∥3.运算律(2)分配律(3)结合律证明:4.向量积的坐标表示式设则向量积的行列式计算法例3.已知三点角形ABC的面积解:如图所示,求三三、向量的混合积1.定义已知三向量称数量混合积.几何意义为棱作平行六面体,底面积高故平行六面体体积为则其2.混合积的坐标表示设3.性质(1)三个非零向量共面的充要条件是(2)轮换对称性:例4.证明四点共面.提示:因故A,

7、B,C,D四点共面.内容小结设1.向量运算加减:数乘:点积:叉积:混合积:2.向量关系:思考与练习1.设计算并求夹角的正弦与余弦.答案:2.证明三角形余弦定理证:则如图.设