空间向量数量积应用

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1、空间向量与立体几何立体几何中的向量方法直线的方向向量与法向量向量法证两直线平行与垂直求空间角求空间距离向量距离空间向量及其运算空间向量的加减运算空间向量的数乘运算空间向量的数量积运算空间向量的坐标运算共线向量定理共面向量定理平行与垂直的条件空间向量基本定理向量夹角第六部分立体几何与空间向量退出上一页空间向量数量积的应用[例1]如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求异面直线A1B与AC所成的角．[归纳生成]求异面直线所成的角的关键是求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量积，必须把所求向量用空间的一组基向量来表示．[例2]已知空间四边形OABC中

2、，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC.M、N分别是OA、BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC.[归纳]a⊥b⇔a·b＝0，事实上，用向量法证线线垂直问题是向量的数量积的应用．已知：在空间四边形OABC中(如图)，OA⊥BC，OB⊥AC，求证：OC⊥AB.已知：在空间四边形OABC中(如图)，OA⊥BC，OB⊥AC，求证：OC⊥AB.命题方向：距离问题例3.已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且两两夹角为60°，则AC1的长是多少？变式：如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将

3、它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B、D间的距离．3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示平面向量基本定理：平面向量的正交分解及坐标表示xyo【温故知新】二、空间直角坐标系单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底,常用e1,e2,e3表示空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底e1,e2,e3,以点O为原点，分别以e1,e2,e3的正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这样就建立了一个空间直角坐标系O--xyz点O叫做原点，向量e1,e2,e3都叫做坐标向量.通过每两个坐

4、标轴的平面叫做坐标平面。xyzOe1e2e3给定一个空间坐标系和向量,且设e1,e2,e3为坐标向量，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x,y,z)使p=xe1+ye2+ze3有序数组(x,y,z)叫做p在空间直角坐标系O--xyz中的坐标，记作.P=(x,y,z)其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.三、空间向量的直角坐标系xyzOe1e2e3空间向量运算的坐标表示,则设一、向量的直角坐标运算若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则AB=OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)=(x2-x1,y2-

5、y1,z2-z1)空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.二、距离与夹角的坐标表示1.距离公式（1）向量的长度（模）公式注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。在空间直角坐标系中，已知　　　　　　、，则（2）空间两点间的距离公式2.两个向量夹角公式注意：（1）当　　　　　　时，　　　同向；（2）当　　　　　　时，　　　反向；（3）当　　　　　　时，　　　。解：设正方体的棱长为1，如图建立空间直角坐标系　　　　，则例1如图,在正方体　　　　　　　中，，求　　与　　所成的角的余弦值.证明:设正方体的棱长为1,建

6、立如图的空间直角坐标系xyzA1D1C1B1ACBDFE小结：1、空间向量的坐标运算；2、利用向量的坐标运算判断空间几何关系的关键：首先要选定单位正交基，进而确定各向量的坐标，再利用向量的坐标运算确定几何关系。