空间解析几何简介(IV)

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1、第一节空间解析几何简介第五章多元函数的微积分学由于多元函数的自变量依赖于多个变量的变化，故我们需引入空间直角坐标系。在空间任意选取一点O,过点O引三条互相垂直的数轴Ox,Oy,Oz.并按右手规则(如图),规定Ox，Oy,Oz的正方向,即沿Ox轴到Oy轴方向握住Oz轴,此时拇指指向Oz轴的正方向.再规定一个长度单位.这时就建立了一个空间直角坐标系.其中,点O称为坐标原点,Ox,Oy,Oz称为坐标轴,并分别称为x轴,y轴,z轴。每两条坐标轴确定一个平面,称为坐标平面,分别称为xy,yz,zx平面.三个坐标平面将空间分为8个部分,称为8个卦限.把含有x轴正向,y轴正向,z轴正向的那个卦限称

2、为第一卦限.设M为空间的任意一点,过点M分别作垂直于三个坐标轴的平面,这三个平面分别与三个坐标轴交于P,Q,R三点.设OP=,OQ=,OR=,则点M唯一确定了一个三元有序数组于是,空间任意一点M与一个三元有序数组建立了一一对应关系.称这个三元有序数组为点M的坐标,记为M.称横坐标，称纵坐标，称竖坐标。反之,对任意一个三元有序数组,在x,y,z三个轴上分别取点P,Q,R,使OP=,OQ=,OR=,然后过P,Q,R三点分别作垂直于x,y,z轴的平面,这三个平面相交于一点M,则由一个三元有序数组又唯一地确定了空间的一个点M.坐标原点的坐标为(0,0,0);x轴上点的坐标为(x,0,0);y

3、轴上点的坐标为(0,y,0);z轴上点的坐标为(0,0,z);xy平面上点的坐标为(x,y,0);yz平面上点的坐标为(0,y,z);zx平面上点的坐标为(x,0,z).可以证明,空间任意两点,之间的距离公式为:特别地,空间任意一点M(x,y,z)与坐标原点O(0,0,0)之间的距离公式为:如果点,均位于xy平面上,即,则得到我们已知的xy平面上任意两点之间的距离公式5.1.2空间任意两点间的距离与平面解析几何中建立曲线与方程的对应关系一样,可以建立空间曲面与包含三个变量的方程F(x,y,z)=0的对应关系.如果有一个曲面S与一个三元方程F(x,y,z)=0，它们满足如下条件1)曲面

4、S上任意一点的坐标都满足方程F(x,y,z)=0;2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程F(x,y,z)=0.那么曲面S称为方程F(x,y,z)=0的图形,而方程F(x,y,z)=0称为曲面S的方程.以下我们只介绍平面和几种常见的曲面及其方程.5.1.3空间曲面与方程1.平面平面是空间中最简单且最重要的曲面.例5.1.2作z=c(c是常数)的图形.解方程z=c中不含x,y,这说明x,y取任何值时,总有z=c,其图形为距离xOy平面

5、c

6、个单位,且平行于xOy平面的平面.此平面可由xOy平面向上(c>0)或向下(c<0),平行移动

7、c

8、个单位而得到.例5.1.3求到两定点(1,-1,1

9、)与(2,1,-1)等距离的点M(x,y,z)的轨迹方程.解由于,所以化简得点M的轨迹方程为2x+4y-4z-3=0.从立体几何中知,所求轨迹应为线段的中垂面,此平面的方程为上面的三元一次方程.前面两个例子所讨论的方程都是三元一次方程,所考察的图形都是平面.可以证明平面的一般方程为Ax+By+Cz+D=0,其中,A,B,C,D均为常数,且A,B,C不全为零.空间中的两个平面相交得一直线。因此，联立两个三元一次方程就表示这条直线。该方程组就是这条直线的方程。2.柱面直线L沿给定曲线C平行移动所形成的曲面,称为柱面.动直线L称为柱面的母线,定曲线C称为柱面的准线.例5.1.4作方程的图形

10、.(1)圆柱面(2)抛物柱面例5.1.5方程表示母线平行于z轴,准线是xOy平面上抛物线的抛物柱面.抛物柱面例5.1.6求球心为点,半径为R的球面方程.3.球面4.旋转抛物面例5.1.7函数的图形是一个旋转抛物面.xyzo5.双曲抛物面例5.1.7函数的图形是一个双曲抛物面,也称马鞍面。xyzo1.平面区域在xOy平面上,平面区域是指整个xOy平面或在xOy平面上由一条或几条曲线围成的部分,围成区域的曲线称为该区域的边界,包括边界在内的平面区域称为闭区域;不包括边界在内的区域称为开区域;包括部分边界在内的区域称为半开区域.如果区域延伸到无限远处,则称这个区域为无界区域.否则,称为有界

11、区域.2.邻域5.1.4平面区域的概念设为xOy平面上一定点,为正数.以为圆心,为半径的开圆域称为点的-邻域.