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《向量代数与空间解析几何(IV)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第七章向量代数与空间解析几何在平面解析几何中我们通过引进坐标系把平面上的点和一对有序数对对应起来，把平面上的曲线图形和方程对应起来，从而可以用代数方法来研究几何问题．空间解析几何也是按照同样的方法建立起来的。本章首先建立空间直角坐标系，引进向量的概念及向量的运算，然后介绍空间的曲面和曲线，并以向量为工具来讨论空间的平面和直线，最后介绍二次曲面．第一节空间直角坐标系引我们学过平面直角坐标系，平面上的点都对应平面直角坐标系上的一个二维坐标.那么，在空间中，如何建立坐标系，以表示空间点呢？为了沟通空间图形与方程的关系，
2、需要建立空间点与有序数组之间的联系．为此，我们引进空间直角坐标系．一、空间直角坐标系及点的坐标在空间中取定一点O作为原点,通过该点做三条相互垂直的数轴,分别称为x轴、y轴和z轴,统称为坐标轴.通常将x轴和y轴置于水平面上,z轴取铅直方向,见图.三个坐标轴的次序和方向一般按右手法则来排列:用右手握住z轴,四个手指从x轴的正向旋转90到轴的正向时,拇指的指向就是z轴的正向.按右手法则确定的的坐标系称为右手系.纵横竖xzy由任意两条坐标轴所确定的平面称为坐标面.三个坐标轴确定了三个坐标面.x轴和y轴所在的平面称为xO
3、y坐标面,另外两个坐标面分别是yOz坐标面和zOx坐标面.三个坐标面将整个空间分为8个部分,每一部分称为一个卦限.含有x轴、y轴和z轴的正半轴的那个卦限称为第一卦限,第二、第三、第四卦限都在xOy面的上方,按逆时针方向确定;第五卦限在第一卦限在下方,第六、第七、第八卦限都在xOy面的下方,按逆时针方向确定.这8个卦限分别用罗马数字Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ来表示,见图.上面建立的的坐标系中,坐标轴、坐标面都是两两垂直的,故称为空间直角坐标系.xoy面yoz面zox面ⅦⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ有了空间直角坐标系,就可以建
4、立空间中的点和有序数组之间的对应关系.设M为空间中的一点,过该点做三个分别垂直于x轴、y轴和z轴的平面,它们与x轴、y轴和z轴分别交于P点、Q点和R点.这三个点在x轴、y轴和z轴上的坐标分别是x、y和z.从而,空间中的点M就唯一确定了一个有序数组(x,y,z);反之,给定一个有序数组(x,y,z),则可分别在x轴、y轴和z轴上取坐标为x,y,z的三个点P,Q,R,过这三个点各做一个分别与x轴、y轴和z轴垂直的平面,这三个平面有唯一的交点,这个交点就是有序数组(x,y,z)所确定的点M,见图.xyzORPQxyzM
5、(x,y,z)这样,利用空间直角坐标系,就在有序数组(x,y,z)与空间中的点M之间建立了一一对应关系.有序数组(x,y,z)称为点M的坐标.其中x,y和z分别称为点M的横坐标、纵坐标和竖坐标.在以后的表述中,常把一个点和表示这个点的坐标不加区别,所说的给定一个点,就是给定这个点的坐标;所说的求一个点,就是求这个点的坐标.坐标面和坐标轴上的点的坐标都有一定的特点.如xOy面上的点,竖坐标z=0;zOx面上的点,其纵坐标y=0;yOz面上的点,其横坐标x=0;z轴上的点横、纵坐标均为零,即x=0,y=0.同样,x轴
6、上的点有y=0,z=0;y轴上的点有x=0,z=0;原点的三个坐标均为零.从点M(x,y,z)引垂直于xOy面的直线,直线与xOy面的交点N(x,y,0)称为点M在xOy面的投影.在MN的延长线上取一点P,使点P到xOy面的距离等于点M到xOy面的距离,称点P是点M关于xOy面的对称点,点M的坐标为(x,y,–z).类似地,点M关于x轴的对称点的坐标为(x,–y,–z),关于原点的对称点的坐标为(–x,–y,–z).点M关于其他坐标面、坐标轴的对称点与此完全类似.各卦限内,点的坐标符号为Ⅰ:(+,+,+),Ⅷ:(
7、+,–,–).Ⅶ:(–,–,–),Ⅵ:(–,+,–),Ⅴ:(+,+,–),Ⅳ:(+,–,+),Ⅲ:(–,–,+),Ⅱ:(–,+,+),二、空间中两点间的距离对空间中两点M1(x1,y1,z1)和M2(x2,y2,z2),可用其坐标表示它们之间的距离d.过M1,M2两点各做三个分别垂直于三条坐标轴的平面.这6个平面围成以M1,M2为顶点的长方体,见图6–4.图6–4由勾股定理得特殊地,点M(x,y,z)到原点O(0,0,0)的距离为例1在z轴上求一点M,使点M到点A(1,0,2)和点B(1,-3,1)的距离相等.解
8、因为所求的点M在z轴上,故点M的坐标应为(0,0,z).根据题意,有解得z=–3,即点M的坐标是(0,0,–3).例2已知一动点M(x,y,z)到两点A(1,2,3)和B(–1,–3,0)的距离总是相等,求动点M的坐标所满足的方程.解由已知条件,有两端平方后整理,得2x+5y+3z–2=0,即动点M的坐标应满足这个三元一次方程.
