一元幂指函数及其应用

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1、第31卷第1期沧州师范学院学报Vol．31，No．12015年3月JournalofCangzhouNormalUniversityMar．2015一元幂指函数及其应用杨小力(沧州师范学院数学系，河北沧州061001)摘要:在一元函数中，通过对于幂指函数的严格定义，并将其分类，研究幂指函数与幂函数形式的函数、幂函数、指数函数形式的函数和指数函数除了在形式上密切相关外，进一步研究在极限、导数、微分与积分性质等方面的相互关系以及运算和应用．关键词:幂指函数;分类;运算;应用中图分类号:O174文献标识码:A文章编号:2095-2910(2015)0

2、1-0001-03DOI:10.13834/j.cnki.czsfxyxb.2015.01.001在高等数学里面，笔者研究过基本初等函数，也就是幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数．将基本初等函数与常数经过有限次的四则运算以及有限次的复合过程，可以生成大量的初等函数．其中g(x)形如y=f(x)的函数，有典型的特点和性质．1幂指函数的概念g(x)定义设函数f(x)、g(x)的定义域为D，将形如y=f(x)(f(x)＞0)的函数，称为定义在D上的幂指形式的函数，或称函数为幂指型函数．(1)当函数g(x)为非零常数时，称为幂函数形式的函

3、数;(2)当函数f(x)≠1的常数时，称为指数函数形式的函数;g(x)(3)当函数f(x)、g(x)不同时为常数时，称函数y=f(x)为幂指函数．g(x，y)同样可以定义多元函数的幂指函数，如二元幂指函数y=f(x，y)．2幂指函数的分类g(x)对于幂指函数y=f(x)，可以分为以下三种类型:bbf(x)(幂函数形式的函数)→x(幂函数)g(x)g(x)xy=f(x)={a(指数函数形式的函数)→a(指数函数)g(x)f(x)，f(x)，g(x)均不为常数．3幂指函数的典型性质通过幂指函数的分类可以看出，幂指函数与幂函数形式的函数、幂函数、指数

4、函数形式的函数和指数函数除了在形式上密切相关以外，有些性质也密不可分．比较典型的如极限、导数与积分性质．3．1常用的极限性质g(x)g(x)lg［f(x)］由幂指函数的重要恒等式y=f(x)≡e，可以得出求解幂指函数未定式极限的一般公式:limfg(x)limg(x)ln［f(x)］(x)=e．特别当limf(x)=a＞0，limg(x)=b时，(a，b)均为常数，则有g(x)blimg(x)limf(x)=a=［limf(x)］．g(x)g(x)ln［f(x)］证f(x)=eg(x)limg(x)ln［f(x)］blnablimg(x)li

5、mf(x)=e=e=a=［limf(x)］收稿日期:2014-12-10作者简介:杨小力(1961-)，女，山东苍山人，沧州师范学院数学系副教授．·1·g(x)blimg(x)limf(x)=a=［limf(x)］．g(x)对于求形如［1+f(x)］的幂指函数的极限问题，如果当x→af(x)→0，g(x)→∞时，可以使用公［1］g(x)limg(x)+f(x)式:lim［1+f(x)］=ex→a．x→a3．2导数与微分性质当f(x)＞0时，g(x)g(x)－1g(x)［f(x)］'=g(x)·f(x)·f'(x)+f(x)·ln［f(x)］

6、·g'(x)．g(x)v证令u=f(x)，v=g(x)y=f(x)=u，运用对数求导法，v11lny=lnu=vlnu·y'=v'lnu+v··u'yuv1vv－1y'=u(v'lnu+v··u')y'=ulnu·v'+v·u·u'ug(x)g(x)g(x)－1y'=［f(x)］'=f(x)·ln［f(x)］·g'(x)+g(x)·f(x)·f'(x)．(1)由公式(1)看出，幂指函数的导数由两部分构成，第一部分是按指数函数求导，第二部分是按幂函数求导．3．3积分性质由公式(1)可得g(x)－1g(x)g(x)∫{g(x)·f(x)·

7、f'(x)+f(x)·ln［f(x)］·g'(x)}dx=f(x)+C(2)4有关幂指函数的运算4．1求幂指函数的极限∞00在函数极限未定式的七个类型中，有三个类型属于幂指函数的极限类型，即1，0，∞三种类型．化为指数型函数或利用重要极限，是求幂指函数极限的一般方法，有时结合使用等价无穷小替换定理和罗比达法则，计算极限会更加方便．3x－1例1求极限lim(1+5x)．x→1思路分析:化为指数型函数，求复合函数的极限．3x－1(3x－1)ln(1+5x)lim［(3x－1)ln(1+5x)］2ln62解lim(1+5x)=lime=ex→1=e=

8、6=36．x→1x→1x［2］例2求极限limx．x→0+0思路分析:属于未定式0型，化为指数形式，运用洛必达法则求极限．xxlnxlimxlnx解l