幂指函数的性质及应用

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1、摘要幂指函数是一类重要的函数，但在教材中涉及幂指函数的内容非常有限，系统的研究幂指函数的性质及应用是非常有必要的。本文先利用微积分的相关知识论述幂指函数的分析性质；再用这些性质研究两个特殊的幂指函数；最后探讨幂指函数的性质在求极限、导数、微分和积分等问题中的应用。关键词:幂指函数；极限；导数；微分；积分IIAbstractExponentialfunctionisakindofimportantfunction,butthecontentoftheexponentialfunctioninvolvedintheteachingmaterialisverylimited,

2、theexponentialfunctionofthenatureoftheresearchandapplicationofsystemisverynecessary.Thispaper,usingrelevantknowledgeofcalculus,firstanalysisthepowerproperties;Withthesetwospecialpropertiesresearchofexponentialfunction;Finallydiscussesthenatureoftheexponentialfunctionlimit,derivative,diff

3、erentialandintegralapplicationproblems.Keywords:Powerexponentfunction;Limit;Derivative;Differential;IntegralII目录1引言12预备知识13幂指函数的性质33.1极限性质33.2导数性质63.3微分性质83.4积分性质94幂指函数性质的应用94.1在研究特殊幂指函数中的应用94.2在解题中的应用114.2.1求极限114.2.2求导数134.2.3求微分144.2.4求积分145结论15致谢15参考文献15II幂指函数的性质及应用1引言在数学发展的历史进程中，数学概

4、念的发展对数学的发展起至关重要的作用，而函数概念的发展更是数学概念发展不可缺少的一部分。回顾函数概念被世界各个研究者不断的精化、丰富，是一件令人十分惊喜的事，它不仅让人更深刻的了解数学的专业知识，也让世人感受到数学文化的博大精深，对数学有了更多的好奇和兴趣。数学函数分类精准，而幂指函数就是所有函数中的一种，它是函数概念不断被精化提炼的结晶。它既不是幂函数，也不是指数函数，但它却兼有两者的特点。幂指函数就是幂底数和幂指数同时都为自变量的函数。它的产生更进一步说明了数学函数的发展和进步。幂指函数是一类重要的函数，它的一些知识在其他教材、资料以及近年来研究生入学考试中经常出现

5、，但是在我们所学过的数学分析教材中涉及的内容又非常有限，仅给出幂指函数的一些定义和求导公式。所以对它对进一步的了解和探讨是非常有必要的。由于幂指函数的独特性，在其求极限、导数、微分和积分等问题时显得比较复杂。本文将主要讨论幂指函数的几个分析性质，并利用幂指函数的性质来解决一些问题，使问题化繁为简。2预备知识由于幂指函数问题在高等数学学习过程中比较容易出错，是学生学习的一个难点，为此我们有必要对幂指函数做进一步研究。为了更容易理解本文所涉及到的定义、定理及引理，下文将这些知识先做一个交代，并对于比较难以理解的定理、引理做进一步的证明。这些定义、定理和引理对研究幂指函数的极

6、限性质、导数性质、微分性质、积分性质将起到一定的作用。定义1设两个函数和的定义域为，形如的函数，称为定义在区域上的幂指函数。引理1若，在点连续，则15.注此引理对，以及都成立.引理2设在的领域内和连续，且，当时，,则有引理3设在的领域内和连续，且，当时，则有证明因为当时，，即.又因为而代入原式，得：.引理4（等价无穷小代换定理）设，，且，则.注（1）此引理可以等价地描述为设，15，其中在附近不为0，则1）如果存在，则也存在，且.2）如果，则.（2）此引理说明等价代换不改变极限的存在性和极限值.引理5设均为某变化过程中的无穷小。若，则.3幂指函数的性质3.1极限性质对于幂

7、指函数的极限问题，可以把式的极限转化为，即型，视具体情况转化为型、型和型，因此有定理1幂指函数的极限（）存在的充要条件为极限存在，且当时，。注1若极限值型如时，A为实数并可取并且下面即对幂指函数的极限类型进行讨论：情形1（型）当为型时，=为型，若,且，则由引理5知15，所以=为。又由定理1可得。于是有引理6（等价无穷小代换）假设和，均为某变化过程中的无穷小。若，并且=A,则有=A。引理6表明：=A时，中的,均可由无穷等价无穷小，代换。由于无穷小与自身等价，所以有以下推论推论1假设和均为某变化过程中的无穷小。若，并且=A，则有=A。推论2假