概率论与数理统计期末试题

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1、1(4分)一袋中有4个白球，4个红球，2个黑球，现作有放回抽取3次，每次从中取一个，求下列事件的概率。(1)第三次才取到白球(2)3个颜色不全相同解:设Ａ为“第三次才取到白球”的事件；Ｂ为“3个颜色不全相同”的事件(1)(2)2(6分)设随机变量的概率密度为又知，求(１)的取值范围，(2)的分布函数解：(1)显然故满足的的取值范围是(2)的分布函数＝3、(9分)设连续型随机变量的分布函数为求(1)常数；(2)密度函数；(３)解：(1)由21(2)的密度函数(3)3、(13分)设离散型随机变量具有分布律0.2520.15(1)求常数；(2)求的分布函数；(3)计算；(4)求的分

2、布律；(5)计算.解：(1)由分布律的性质(2)的分布函数(3)(4)的分布律为2560.150.450.4(5)214．(10分)设的联合密度函数(1)求常数；(2)求关于X及关于Y的边缘密度函数；(3)X与Y是否独立？说明理由。解：(1)由联合密度函数的性质(2)X的边缘密度函数Y的边缘密度函数(3)由于，故X与Y不相互独立5．(6分)设与相互独立，其中的分布律如下，而的概率密度为已知，求230．20．8的概率密度.解：216、已知一批产品中有是合格品，检验产品质量时，一个合格品被判为次品的概率为0.04，一个次品被判为合格品的概率为0.02，从这批产品中任取一个产品，求

3、其被判为合格品的概率。解：。7、已知离散型随机变量的分布律为-101（1）求常数；（2）求的分布函数解:（1）由分布律的性质可得（2）由（1）知的分布律为-101由分布函数的定义可得21218设连续型随机变量的分布函数为：（1）求常数；（2）求的概率密度函数.21解：（1）由分布函数性质：因此可得（2）代入的值，可得故9二维连续型随机变量的概率密度函数为，（1）求常数；（2）求概率.解：（1）由题意可以得到（2）把代入密度函数2110总体的概率密度函数为，其中是未知参数，是来自的一个简单样本，求的最大似然估计量.解：11已知连续型随机变量的概率密度函数为，若随机变量,求.解：

4、由数学期望的定义12设随机变量X的概率密度函数为求：（1）常数λ；（2）EX；(3)P{1

5、总体的简单随机样本，求未知参数的最大似然估计量，此即的极大似然估计量。解：由得总体的样本的似然函数再取对数得：再求对的导数：令，得所以未知参数的最大似然估计量为。16将4个球随机地放在5个盒子里，求下列事件的概率(1)4个球全在一个盒子里;(2)恰有一个盒子有2个球.解：把4个球随机放入5个盒子中共有54=625种等可能结果--------------3分21（1）A={4个球全在一个盒子里}共有5种等可能结果,故P(A)=5/625=1/125------------------------------------------------------5分(2)5个盒子中选一

6、个放两个球，再选两个各放一球有种方法----------------------------------------------------7分4个球中取2个放在一个盒子里，其他2个各放在一个盒子里有12种方法因此，B={恰有一个盒子有2个球}共有4×3=360种等可能结果.故--------------------------------------------------10分17设随机变量ξ的分布密度为(1)求常数A;(2)求P(ξ<1)；(3)求ξ的数学期望.解：（1）---------------------3分（2）------------------------

7、-------6分（3）------------------------------------10分18设二维随机变量(ξ,η)的联合分布是η＝1η=2η＝4η＝5ξ＝00.050.120.150.07ξ＝10.030.100.080.11ξ＝20.070.010.110.10(1)ξ与η是否相互独立?(2)求的分布及；解：（1）ξ的边缘分布为--------------------------------2分η的边缘分布为21---------------------------4分因,故ξ与η不相