概率论与数理统计期末复习试题一

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1、概率论与数理统计期末复习试题一一．（本题满分35分，共有5道小题，每道小题7分）．1．掷2颗均匀的骰子，令：，．⑴试求，，；⑵判断随机事件与是否相互独立？解：⑴掷2颗骰子，共有种情况（样本点总数）．事件含有个样本点，故．事件含有个样本点，故．事件含有个样本点，故．⑵由于，所以随机事件与相互独立．2．设连续型随机变量的密度函数为，求：⑴常数；⑵概率．解：⑴由密度函数的性质，得所以，得．即随机变量的密度函数为．⑵．3．设随机变量和的数学期望分别是和，方差分别是和，而相关系数为．⑴求及；⑵试用切比雪夫（Chebyshev）不等式估计概率．解：⑴令，则有⑵根据切比雪夫不等式，有．4．在总体中随机

2、抽取一个容量为的样本，求．（附，标准正态分布的分布函数的部分值：解：由于总体，而且样本量，所以．所以，．5．设总体，其中且与都未知，，．现从总体中抽取容量的样本观测值，算出，．试在置信水平下，求的置信区间．（已知：，，，）．解：由于正态总体中期望与方差都未知，所以所求置信区间为．由，，得．查表，得．由样本观测值，得，．所以，，，因此所求置信区间为．二．（本题满分45分，共有5道小题，每道小题9分）．6．甲、乙、丙三人独立地破译一份密码．已知甲、乙、丙三人能译出的概率分别为、、．⑴求密码能被破译的概率．⑵已知密码已经被破译，求破译密码的人恰是甲、乙、丙三人中的一个人的概率．解：⑴设，，．．

3、则，因此，．⑵，则，所以注意到，所求概率为．7．某学生参加一项考试，他可以决定聘请名或者名考官．各位考官独立地对他的成绩做出判断，并且每位考官判断他通过考试的概率均为，如果至少有位考官判断他通过，他便通过该考试．试问该考生聘请名还是名考官，能使得他通过考试的概率较大？解：设，则．．由于各位考官独立地对他的成绩做出判断，因此考生聘请位考官，相当于做一个重Bernoulli试验．令表示判断他通过考试的考试人数，则，因此，．⑴若考生聘请位考官，相当于做一个重Bernoulli试验．所以，．⑵若考生聘请位考官，相当于做一个重Bernoulli试验．所以，．所以聘请位考官，可以使该考生通过考试的概

4、率较大．8．设二维随机变量的联合密度函数为⑴．求，及；⑵．分别求出求与的边缘密度函数；⑶．判断随机变量与是否相关？是否相互独立？解：⑴．⑵．当时，所以，随机变量的边缘密度函数为；当时，所以，随机变量的边缘密度函数为⑶．由于，所以与不相关．，所以与不独立．9．某快餐店出售四种快餐套餐，这四种快餐套餐的价格分别为元、元、元和元．并且这种快餐套餐售出的概率分别为、、和．若某天该快餐店售出套餐份，试用中心极限定理计算：⑴该快餐店这天收入至少为元的概率．⑵元套餐至少售出份的概率．（附，标准正态分布的分布函数的部分值：解：⑴设表示售出一份套餐的收入，则的分布律为则，，．令表示出售的第套快餐套餐的收入

5、，．则独立同分布，且的分布都与的分布相同．则⑵设表示售出的份套餐中套餐的份数，则．则．10.设总体的二阶矩存在，记，，且与都未知，，．是从总体中抽取的一个样本，求与的矩估计量．解：记．则有，将与分别用样本的样本均值与样本的二阶原点矩来替换，得到与的矩估计量为，．10．设总体，是取自该总体中的一个样本．⑴求的极大似然估计量；⑵求的极大似然估计量．解：⑴.总体的密度函数为．所以似然函数为所以，取对数，得所以，解方程，得，所以的极大似然估计量为．⑵由于，并且的极大似然估计量为．又函数具有单值反函数，因此的极大似然估计量为．又函数具有单值反函数，因此的极大似然估计量为．三．（本题满分20分，共有

6、2道小题，每道小题10分）．11．设随机变量与相互独立，且服从同一分布．的分布律为．又设，．⑴求出二维随机变量的联合分布律及随机变量及各自的边缘分布律；⑵求、及．解：⑴由与的取值都是，可知与的取值也是．；；；；；；；；；因此二维随机变量的联合分布律及的边缘分布律为⑵，，．12．设总体的数学期望为，方差为，现从中分别抽取容量为与的两个独立样本，这两个样本的样本均值分别为与．证明：对于满足的任何常数及，是的无偏估计，并确定常数及，使得的方差达到最小．解：由样本均值的数学期望的性质，得所以，是的无偏估计．又由于，．所以，下面求二元函数在条件下的最小值．由Lagrange乘数法，令，则有，，解此

7、方程组，得，即当，时，的方差达到最小．