6.7 不等式的证明(2)(理)

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1、不等式证明方法（二）知识要点梳理1、反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，从而肯定原结论的正确；运用反证法的策略：正难则反。2、放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达到证题的目的。即欲证，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量使得（或）。常用的放缩方式有：①添加或舍去一些项；如：；；②将分子或分母放大（或缩小）；③利用基本不等式，如：；④利用常用结论：Ⅰ、；Ⅱ、；（程度大）Ⅲ、；（程度小）3、换元法：换元法是指结构较为复杂、量与量之间关系不很明了的命题，通过恰当引入新变量，代换原题中的部分式子，简化原有结构，使其转化为便于研究的形式。换元的目

2、的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简。常用的换元有三角换元和代数换元。如：已知，可设；已知，可设()；已知，可设；4.构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、结论的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．5。判别式法:含有两上字母的不等式，若可化成一边为零，而另一边是关于某字母的二次式时，.时可考虑判别式法.6.数学归纳法法：可用于证明与正整数n有关的不等式。将在

3、数学归纳法中专门研究.疑难点、易错点剖析1.数学解题的两个重要策略原则是：正难则反原则：若从正面考虑问题比较难入手时，则可考虑从相反方向去探索解决问题的方法，即我们常说的逆向思维，由结论向条件追溯。简单化原则：寻求解题思路与途径，常把较复杂的问题转化为较简单的问题，在证明较复杂的不等式时，可以考虑将这个不等式不断地进行变换转化，得到一个较易证明的不等式。2、凡是“至少”、“唯一”或含有否定词的命题适宜用反证法.3、换元法（主要指三角代换法）多用于条件不等式的证明，此法若运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化成简单的三角问题.用换元法证明不等式

4、时一定要注意新元的约束条件及整体置换策略。4、含有两上字母的不等式，若可化成一边为零，而另一边是关于某字母的二次式时，这时可考虑判别式法，并注意根的取值范围和题目的限制条件.5、有些不等式若恰当地运用放缩法可以很快得证，放缩时要看准目标，做到有的放矢，注意放缩适度.直击考点考点一用放缩法证明不等式例1、已知函数，求证：。例2、求证：思路分析：所以可用放缩法。证明：锦囊妙计：恰当地运用放缩法可以是不等式很快得证，但放缩时要看准目标，做到有的放矢，注意放缩要适度。举一反三：1.考点二运用换元法证明不等式例3、（1）设，且，求证：；（2）设，且，求证：【证明】（1

5、）设则，=。（2）设，∵，∴。于是。[锦囊妙计]（1）本题运用了三角换元法。三角代换是最常见的变量代换，凡条件为或或等均可三角换元。（2）换元法是不等式证明中的重要变形方法，常用的换元手段除三角换元法外，还有平均值代换、比值代换、对称代换、增量代换。举一反三：2.提示：用三角换元法考点三用反证法证明不等式例3、已知，求证：中至少有一个不小于。【思路分析】由于题目的结论是：三个函数值中“至少有一个不小于”，情况较复杂，会出现多个异向不等式组成的不等式组，一一证明十分繁冗，而结论的反面构成三个同向不等式，结构简单，故采用反证法为宜。【证明】（反证法）假设都小于，

6、则，而，相互矛盾∴中至少有一个不小于。[锦囊妙计]用反证法证明命题时，推导出的矛盾可能多种多样。有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与事实相违背等等，推导出的矛盾必须是明显的。举一反三：3.若a,b,c都是小于1的正数，求证：.提示：用反证法。考点四用构造法证明不等式【例4】求证：≤+.思路分析：由于

7、a+b

8、≤

9、a

10、+

11、b

12、，故可先研究f（x）=（x≥0）的单调性.证明：令f（x）=（x≥0），易证f（x）在［0，+∞）上单调递增.

13、a+b

14、≤

15、a

16、+

17、b

18、，∴f（

19、a+b

20、）≤f（

21、a

22、+

23、b

24、），即≤=≤.例5.已知，。求证：都属于。【证明】由已知得：

25、，代入中得：∵，∴△≥0，即解得，即y∈。同理可证x∈，z∈。举一反三：设，且，求证：因为，而所以，所以a，b为方程（1）的二实根而，故方程（1）有均大于c的二不等实根。记，则解得。[锦囊妙计]在比较法、综合法无效时，如果能利用主元素法把原式整理成关于某函数的二次式，可考虑用判别式，要注意根的范围和题目本身的条件限制。紧扣考纲大演练一.单项选择题1、实数、、不全为零的条件为（D）、、全不为零、、中至多只有一个为零、、只有一个为零、、中至少有一个不为零2、已知，，则有（B）3、若且，则的取值范围是（D）4、已知，则下列各式中成立的是（C）5、设,y∈R,且x+

26、y=4,则的最大值为（B）A)2-B)2+2C)-2