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1、进入学案2不等式的证明名师伴你行SANPINBOOK考点一考点二考点三名师伴你行SANPINBOOK返回目录不等式证明的常用方法有：比较法、综合法和分析法.它们是证明不等式的最基本的方法.1.比较法（1）求差比较法：要证a>b，只需证.（2）求商比较法：要证a>b，而b>0，只需证.a-b>0ab>1名师伴你行SANPINBOOK2.综合法利用某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要求证的不等式成立.这种证明方法叫做.3.分析法从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题.如果能够肯
2、定这些条件都已具备，那么就可以判定原不等式成立.这种证明方法通常叫做.分析法综合法名师伴你行SANPINBOOK返回目录考点一比较法证明不等式【例1】设a>b>0，求证：.【分析】用比较法证明，两边相减作差，判定差的符号.由于两边都是正数也可作商与1比较.名师伴你行SANPINBOOK返回目录【证明】证法一：名师伴你行SANPINBOOK返回目录证法二：∵左边右边=【评析】作差法的关键在于差的变形，或配方为平方和加非负数的形式，或分解为几个因式积的形式；作商法的关键在于商式与1的大小关系（注意商式分子、分母均为正）.名师伴你行SANPINBOOK返回目录＊对
3、应演练＊已知a>0,b>0，求证：名师伴你行SANPINBOOK返回目录证明：证法一：∵名师伴你行SANPINBOOK返回目录证法二：名师伴你行SANPINBOOK返回目录证法三：名师伴你行SANPINBOOK返回目录考点二综合法证明不等式【例2】已知a,b∈(0,+∞)且a+b=1,求证：【分析】用综合法证明不等式，注意选择恰当的性质及公式.名师伴你行SANPINBOOK返回目录【证明】证法一：名师伴你行SANPINBOOK返回目录【评析】用综合法证明不等式，主要依据不等式的性质和公式，因此关键是构造使用的性质公式的条件和基本形式.证法二：名师伴你行SAN
4、PINBOOK返回目录＊对应演练＊已知a,b,c都是正数，求证：≥a+b+c.证明：由于a,b,c∈R+,∴只需证a4+b4+c4≥a2bc+ab2c+abc2,①出现对称结构a4+b4≥2a2b2②b4+c4≥2b2c2,③c4+a4≥2c2a2④∴由②③④相加得a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2.⑤∵名师伴你行SANPINBOOK返回目录（虽然⑤式左边的结构已与①式左边一样，但它们的右边还有一定的差距，由于右边仍呈现“对称”形式，故仍采用上面的方法）a2b2+b2c2≥2=2ab2c⑥b2c2+c2a2≥2abc2⑦c2a2+a2b2≥2a2
5、bc,⑧∴⑥⑦⑧相加得a2b2+b2c2+c2a2≥a2bc+ab2c+abc2.⑨由⑤⑨得a4+b4+c4≥a2bc+ab2c+abc2,∴≥a+b+c.当且仅当a=b=c时取等号.又∵名师伴你行SANPINBOOK返回目录考点三分析法证明不等式【例3】已知a>b>0.求证：.【分析】用分析法证明不等式.当不等式运算结构复杂，思路不明显，从条件出发感到无从下手时宜采用此法.名师伴你行SANPINBOOK返回目录∵a>b>0，即，，又∵a>b>0,∴∴成立.故原不等式成立.【证明】要证原不等式成立，只需证即只需证名师伴你行SANPINBOOK返回目录【评析】
6、用分析法，主要找使不等式成立的条件，通常采用“欲证—只需证（即证）—已知”的格式，表述一定要规范.名师伴你行SANPINBOOK返回目录＊对应演练＊已知a≥3，求证：.证明：要证，即证.即证,即证∵a≥3,∴(a+3)(2a-6)≥0,2a(a-3)≥0,即证(a+3)(2a-6)≥2a(a-3),即证2a2-18≥2a2-6a，即证6a≥18,即证a≥3，而已知a≥3,∴原不等式成立.名师伴你行SANPINBOOK返回目录1.比较法、分析法和综合法是证明不等式的基本方法和主要方法，要注意灵活选用.其中，比较法是首选方法，若已知条件信息量较少或已知条件与待证
7、的不等式的联系不明显，可用分析法探索条件与结论间的关系.2.分析法的特点是执果索因，叙述繁琐且容易出现逻辑错误，因此，用分析法探索证明思路，用综合法书写证明过程是比较明智的.3.证明不等式不要受方法的局限，应灵活善变.名师伴你行SANPINBOOK返回目录祝同学们学习上天天有进步！名师伴你行SANPINBOOK
