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1、导数与函数板块之基础知识典型例题通性通法考纲指要：导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。考点扫描：导数在研究函数中的应用①结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；②结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的
2、一般性和有效性。【考情分析】1．函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法是高中数学的一条重要的主线，选择、填空、解答三种题型每年都有，函数题的身影频现，而且常考常新．以基本函数为背景的综合题和应用题是近几年的高考命题的新趋势．函数的图象也是高考命题的热点之一．近几年来考查导数的综合题基本已经定位到压轴题的位置了．2．对于函数部分考查的重点为：函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性对称性和函数的图象；指数函数、对数函数的概念、图象和性质；应用函数知识解决一些实际问题；导数的基本公式，复合函数的求导法则；可导函数的单调
3、性与其导数的关系，求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．基础知识回顾：1.导数的几何意义：函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率，也就是说，曲线在点P处的切线的斜率是，切线方程为2.求导数的四则运算法则：（为常数）。注：必须是可导函数.3.函数单调性：（1）函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果＞0，则为增函数；如果＜0，则为减函数.（2）常数的判定方法；如果函数在区间内恒有=0，则为常数.注：①是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如在上并不是都有，有一个点例外即x=0时f（x）=0，
4、同样是f（x）递减的充分非必要条件.②一般地，如果f（x）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.4.极值的判别方法：（极值是在附近所有的点，都有＜，则是函数的极大值，极小值同理）当函数在点处连续时，①如果在附近的左侧＞0，右侧＜0，那么是极大值；②如果在附近的左侧＜0，右侧＞0，那么是极小值.也就是说是极值点的充分条件是点两侧导数异号，而不是=0①.此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点②.当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比
5、极小值小（函数在某一点附近的点不同）.注①：若点是可导函数的极值点，则=0.但反过来不一定成立.对于可导函数，其一点是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.例如：函数，使=0，但不是极值点.②例如：函数，在点处不可导，但点是函数的极小值点.5.极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.注：函数的极值点一定有意义.6.几种常见的函数导数：（为常数）（）类型一：单调区间、极值与最值（定义域优先原则、然后求导数分析导数的正负取值情况）类型二：函数图象在某区间上有无极值与有无零点（根
6、）问题（零点存在性定理、数形结合思想）类型三：参数取值范围问题恒成立问题、存在性问题（解决问题有两种方法：①分离参数构造函数求导分析单调性更有甚者二次求导分析，如果分离参数到最后知道原函数的单调性，但函数值无法确定时（大胆使用罗比达法则）来求函数的极限值。②直接求导分析法（分类讨论思想）类型四：利用导数研究函数图象的切线问题（构造函数，考察函数与方程思想）类型五：利用导数证明不等式（构造函数思想）类型六：导数与线性规划问题综合题（建立合理的线性约束条件）【例1】设函数.(1)求的单调区间;(2)若当时,(其中)不等式恒成立,求实
7、数的取值范围;(3)试讨论关于的方程:在区间上的根的个数.【解析】（1）函数的定义域为.由得;由得,则增区间为,减区间为.(2)令得,由(1)知在上递减,在上递增,由,且,时,的最大值为,故时,不等式恒成立.(3)方程即.记,则.由得;由得.所以在上递减;在上递增.而,所以,当时,方程无解;当时，方程有一个解;当时,方程有两个解;当时,方程有一个解;当时,方程无解.综上所述,时,方程无解;或时,方程有唯一解;时,方程有两个不等的解.【例2】已知函数（I）当时，若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围；（II）当时，（1）求证：对
8、任意的，的充要条件是；（2）若关于的实系数方程有两个实根，求证：且的充要条件是【解析】（1）当时，，在（—1，1）上为单调递增函数，在（—1，1）上恒成立在（—1，1）上恒成立（2）设，则【例3】已知函数与函数。（Ⅰ）若的图象在点（1，0）处有公共的切线，求实数
