曲线积分与曲面积分第五节对坐标的曲面积分

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1、第五节对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分的概念与性质对坐标的曲面积分的计算法三两类曲面积分的关系1一对坐标的曲面积分的概念与性质其方向用法向量指向方向余弦>0为前侧<0为后侧封闭曲面>0为右侧<0为左侧>0为上侧<0为下侧外侧内侧•设为有向曲面,侧的规定指定了侧的曲面叫有向曲面,表示:其面元在xoy面上的投影记为的面积为则规定类似可规定2设稳定流动的不可压缩流体的速度场为求单位时间流过有向曲面的流量.分析:若是面积为S的平面,则流量法向量:流速为常向量:1.引例3对一般的有向曲面,用“大化小,常代变,近似和,取极限

2、”对稳定流动的不可压缩流体的速度场进行分析可得,则4设为光滑的有向曲面块,的任意分割和在局部面元上任意取点,分,记作P,Q,R叫做被积函数;叫做积分曲面.或第二类曲面积分.下列极限都存在个有界向量场若对则称此极限为向量场A在有向曲面上对坐标的曲面积2.定义.在上定义了一5引例中,流过有向曲面的流体的流量为称为Q在有向曲面上对z,x的曲面积分;称为R在有向曲面上对x,y的曲面积分.称为P在有向曲面上对y,z的曲面积分;若记正侧的单位法向量为令则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式称为有向面元素63.性质(1

3、)若之间无公共内点,则(2)用ˉ表示的反向曲面,则7二对坐标的曲面积分的计算法定理:是上的连续函数,则证:∵取上侧,若光滑曲面垂直于面，则若光滑曲面其中为上侧时，取正号，否则取负号。8当取下侧时若则有若则有(前正后负)(右正左负)9例1计算曲面积分其中长方体表面的外侧。解先计算由于垂直于面，所以后侧前侧10所以同理原式11例2计算曲面积分其中为球面部分外侧。解上侧下侧1213例3计算曲面积分其中为由圆锥面与所围物体的表面外侧。解上侧下侧下侧1415三两类曲面积分的关系曲面的方向用法向量的方向余弦刻画16令向量形

4、式(A在n上的投影)17部分上侧。其中为例4计算曲面积分的位于解上侧的法向量为方向余弦18例5设是其外法线与z轴正向夹成的锐角,计算解:19例6计算曲面积分其中解:利用两类曲面积分的联系,有∴原式=旋转抛物面介于平面z=0及z=2之间部分的下侧.20原式21