曲线积分与曲面积分第二节对坐标的曲线积分

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1、第二节对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分的概念对坐标的曲线积分的性质对坐标的曲线积分的计算法两类曲线积分的关系1一对坐标的曲线积分的概念1实例:变力沿曲线所作的功常力所作的功分割方法：大化小，常代变，近似和，求极限。2近似和取极限近似值精确值常代变32.定义.设L为xoy平面内从A到B的一条有向光滑弧段,若对L的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧L上对坐标的曲线积分,则称此极限为函数或第二类曲线积分.其中,L称为积分弧段或积分曲线.称为被积函数,在L上定义了一个有界向量函数极限记作4若为空间曲线弧,记称为对x的曲线积分;称为对y的曲线积分.若记对坐标的曲线积

2、分也可写作类似地,（称其为有向弧元素）5二对坐标的曲线积分的性质(1)6即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.7三对坐标的曲线积分的计算法定理:在有向光滑弧L上有定义且L的参数方程为则曲线积分连续,证明:下面先证存在,且有8对应参数设分点根据定义由于因为L为光滑弧,同理可证9特别是,如果L的方程为则对空间光滑曲线弧:类似有10例1.计算其中L为沿抛物线解法1取x为参数,则解法2取y为参数,则从点的一段.11例2.计算其中L为(1)半径为a圆心在原点的上半圆周,方向为逆时针方向;(2)从点A(a,0)沿x轴到点B(–a,0).解:(1)取L的参数方程为(2)取L的方程为则则12

3、例3.计算其中L为(1)抛物线(2)抛物线(3)有向折线解:(1)原式(2)原式(3)原式13例4.设在力场作用下,质点由沿移动到解:(1)(2)的参数方程为试求力场对质点所作的功.其中为14例5计算曲线积分其中相应于的一段，依解增长的方向。15例6.求其中从z轴正向看为顺时针方向.解:取的参数方程16四两类曲线积分之间的联系在曲线积分中因此其中为弧微分，记为以同向的单位向量，则另一方面，设有向光滑弧L以弧长为参数的参数方程为则L切向量为17因此是这样一个有向曲线L的正向切向的单位向量，记则为L的正向切向方向余弦，所以即有两类曲线积分的关系：18同理对于空间曲线的两类

4、曲线积分的关系：其中为空间曲线L的正向切向的方向余弦。如果记上式又可表示为为在L的正向切向的投影）19二者夹角为例7.设曲线段L的长度为s,证明续,证:设说明:上述证法可推广到三维的第二类曲线积分.在L上连20例8.将积分化为对弧长的积分,解：其中L沿上半圆周21