对坐标的曲线积分

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1、一、对坐标的曲线积分的概念与性质二、对坐标的曲线积分的计算§9.6对坐标的曲线积分三、两类曲线积分之间的联系一、对坐标的曲线积分的概念与性质变力沿曲线所作的功质点在变力F(xy)P(xy)iQ(xy)j的作用下从点A沿光滑曲线弧L移动到点B求变力F(xy)所作的功P(ii)xiQ(ii)yi,[]提示把L分成n个小弧段L1L2Ln求功的过程变力在Li上所作的功的近似值为变力在L上所作的功的近似值为变力在L上所作的功的精确值为其中是各小弧段长度的最大

2、值F在Li上所作的功WiF(ii)si>>>光滑曲线对坐标的曲线积分设函数P(xy)、Q(xy)在有向光滑曲线弧L上有界把L分成n个有向小弧段L1L2Ln其中Li是从(xi1yi1)到(xiyi)的小弧段记xixixi1yiyiyi1在小弧段Li上任取一点(i)令为各小弧段长度的最大值如果极限总存在则称此极限为函数P(xy)在有向曲线弧L上对坐标x的曲线积分记作如果极限总存在则称此极限为函数Q(xy)在有向曲线弧L上对坐

3、标y的曲线积分记作对坐标的曲线积分在积分中P(xy)、Q(xy)叫做被积函数L叫做积分弧段说明对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分对坐标的曲线积分说明设为空间内一条光滑有向曲线弧函数P(xyz)、Q(xyz)、R(xyz)在上有定义我们定义对坐标的曲线积分的简写形式在应用上经常出现的是上式可记为其中F(xy)P(xy)iQ(xy)jdrdxidyj类似地有其中AP(xyz)iQ(xyz)jR(xyz)kdrdxidyjdzk对

4、坐标的曲线积分的性质性质1设、为常数则性质2若有向曲线弧L可分成两段光滑的有向曲线弧L1和L2性质3设L是有向光滑曲线弧L是L的反向曲线弧则则提示二、对坐标的曲线积分的计算质点在变力F(xy)P(xy)iQ(xy)j的作用下沿光滑有向曲线弧L所作的功为另一方面在L上任取一小段有向弧其起点和终点对应的参数分别为t和tdt得功元素F[(t)(t)]drdr(dxdy)((t)dt(t)dt)dW设光滑有向曲线弧L的参数方程为x(t)y(t)

5、且L的起点和终点所对应的参数分别为和>>>图形F[(t)(t)](P[(t)(t)]Q[(t)(t)])二、对坐标的曲线积分的计算质点在变力F(xy)P(xy)iQ(xy)j的作用下沿光滑有向曲线弧L所作的功为另一方面在L上任取一小段有向弧其起点和终点对应的参数分别为t和tdt得功元素F[(t)(t)]drP[(t)(t)](t)dtQ[(t)(t)](t)dtdW于是设光滑有向曲线弧L的参数方程为x(t)y(t)

6、且L的起点和终点所对应的参数分别为和二、对坐标的曲线积分的计算质点在变力F(xy)P(xy)iQ(xy)j的作用下沿光滑有向曲线弧L所作的功为设光滑有向曲线弧L的参数方程为x(t)y(t)且L的起点和终点所对应的参数分别为和这说明对坐标的曲线积分可以化为定积分来计算定理(对坐标的曲线积分的计算公式)存在并且则曲线积分设P(xy)、Q(xy)在有向光滑曲线弧L上有定义且连续L的参数方程为x(t)y(t)L的起点和终点对应的参数分别为和应注意的问题下

7、限a对应于L的起点上限对应于L的终点不一定小于设L由x(t)y(t)给出L以t为起点以t为终点则设空间曲线由x(t)y(t)z(t)给出以t为起点以t为终点问讨论提示设L由x(t)y(t)给出L以t为起点以t为终点则上从点A(11)到点B(11)的一段弧解L分为AO和OB两部分第一种方法以x为积分变量设L由x(t)y(t)给出L以t为起点以t为终点则上从点A(11)到点B(11

8、)的一段弧解第二种方法以y为积分变量在L上xy2y从1变到1因此解(1)L的参数方程为xacosyasin从0变到因此(1)按逆时针方向绕行的上半圆周x2y2a2(2)从点A(a0)沿x轴到点B(a0)的直线段(2)L的方程为y0x从a变到a因此(1)抛物线yx2上从O(00)到B(11)的一段弧(2)抛物线xy2上从O(00)到B