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1、大连海事大学数学系王志平2005年11月高等数学第十章积分学定积分二重积分三重积分积分域区间域平面域空间域曲线积分曲线域曲面域曲线积分曲面积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分曲面积分曲线积分与曲面积分第十章曲线积分与曲面积分第一节对弧长的曲线积分第二节对坐标的曲线积分第三节格林公式及其应用第四节曲线积分与路径无关的条件第五节对面积的曲面积分第六节对坐标的曲面积分第七节高斯公式通量散度第八节斯托克斯公式环流量与旋度第一节对弧长的曲线积分定义及性质计算总结对弧长的曲线积分定义对弧长的曲线积分定义：设L是xoy面内的一条光滑曲线弧,f(x,y)在L上
2、有界,都存在,L上对弧长的曲线积分,记作若通过对L的任意分割局部的任意取点,下列“乘积和式极限”则称此极限为函数在曲线或第一类曲线积分.称为被积函数，L称为积分弧段.注：和对对弧长的曲线积分性质（k为常数)(L由组成)(l为曲线弧L的长度)对弧长的曲线积分的计算法基本思路:计算定积分转化定理:且上的连续函数,解释:是定义在光滑曲线弧则曲线积分求曲线积分弧微分：又(x,y)在L上对弧长的曲线积分如果曲线L的方程为则有如果方程为极坐标形式:则推广:设空间曲线弧的参数方程为则例1.计算其中L是抛物线与点B(1,1)之间的一段弧.解:上点O(0,0)对弧长的曲线积分注：化为定积分时上
3、限一定大于下限例2.计算曲线积分其中为螺旋的一段弧.解:线对弧长的曲线积分例3.计算其中为球面被平面所截的圆周.解:由对称性可知对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分也有类似于重积分的对称性对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分质量质心转动惯量对弧长的曲线积分总结对弧长的曲线积分第二节对坐标的曲线积分定义及性质计算两类曲线积分之间的关系总结对坐标的曲线积分的概念与性质1.引例:变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用从点A沿光滑曲线弧L移动到点B,“大化小”“常代变”“近似和”“取极限”变力沿直线所作的功解决办法:变力所作的功W.对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分1)
4、“大化小”.2)“常代变”把L分成n个小弧段,有向小弧段近似代替,则有所做的功为F沿则用有向线段上任取一点在3)“近似和”4)“取极限”(其中为n个小弧段的最大长度)记作对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分2.定义.设L为xoy平面内从A到B的一条有向光滑弧,若对L的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向弧L上对坐标的曲线积分,则称此极限为函数或第二类曲线积分.在L上定义了一个向量函数极限记作对坐标的曲线积分对x的曲线积分;对y的曲线积分.若为空间曲线弧,记若记,对坐标的曲线积分也可写作类似地,对坐标的曲线积分性质定积分是第二类曲线积分的特例.说明:对坐标的曲线积分必
5、须注意积分弧段的方向!对坐标的曲线积分计算定理:在有向光滑弧L上有定义且L的参数方程为则曲线积分连续,证明:下面先证存在,且有对应参数设根据定义对应参数同理可证对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分若L的方程为则对空间光滑曲线弧:类似有对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分例2.求其中从z轴正向看为顺时针方向.解:取的参数方程对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分两类曲线积分之间的关系设有向光滑弧L参数方程为则L上(x,y)处的切向量为则两类曲线积分有如下联系对坐标的曲线积分类似地,在空间曲线上的两类曲线积分的联系是令记A在t上的投影为则对坐标的曲线积分总结第三节格林公式及其应用格林公式
6、格林公式的应用总结格林公式及其应用格林公式复连通区域单连通区域格林公式及其应用yxoab格林公式及其应用格林公式及其应用格林公式的应用1.直接用格林公式及其应用2.L不封闭，取L+l封闭格林公式及其应用3.P(x,y),Q(x,y)一阶偏导不连续A.代入法：将积分弧段的方程直接代入分母中。B.直接法格林公式及其应用C.将不连续的点挖去（积分弧的方程与分母不同）格林公式及其应用格林公式及其应用格林公式及其应用4.求二重积分格林公式及其应用5.求面积格林公式及其应用总结第四节曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关全微分求积题型小结曲线积分与路径无关GyxoBA曲线积分与路径无关则称
7、曲线积分定义：如果在区域G内有在G内与路径无关,否则称为与路径有关。曲线积分与路径无关平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理.设D是单连通域,在D内具有一阶连续偏导数,(1)沿D中任意光滑闭曲线L,有(2)对D中任一分段光滑曲线L,曲线积分(3)(4)在D内每一点都有与路径无关,只与起止点有关.函数则以下四个条件等价:在D内是某一函数的全微分,即格林公式及其应用说明:积分与路径无关时,曲线积分可记为证明：(1)(2)设为D内任意两条由A到B的有向分段光滑曲线,则(根据条件(1))格林公式及其应用(2)(
