10.5 对坐标的曲面积分

《10.5 对坐标的曲面积分》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第五节对坐标的曲面积分第五节对坐标的曲面积分第十章曲线•理解对坐标的曲面积分的概念积分•掌握其计算方法与曲面积分杨建新第五节对坐标的曲面积分一、有向曲面第观察以下曲面的侧(假设曲面是分片光滑的)十章曲线积分与曲面积分曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧杨建新第五节对坐标的曲面积分曲面的分类:1.双侧曲面;2.单侧曲面.第十章典曲线型积双分n与侧曲面曲积分面杨建新第五节对坐标的曲面积分典型单侧曲面:莫比乌斯带第十章曲线积分与曲面积分播放杨建新第五节对坐标的曲面积分对于双侧曲面,在任何一点处的法向量的指向有两个方向,和曲面的两侧相对应.第十设曲面：Fxyz(,,

2、)0,法向量n{,FFF,}xyz章曲有两个方向。线积•指定了侧的曲面叫有向曲面,其方向用法向量指向分表示，规定与曲方向余弦coscoscos封闭曲面面积分>0为前侧>0为右侧>0为上侧外侧侧的规定<0为后侧<0为左侧<0为下侧内侧杨建新第五节对坐标的曲面积分对封闭区域，若法向量的方向远离所围的区域称取外侧。第十若法向量的指向所围的区域称取内侧。章222xyz曲例如椭球面1,若法向量的方向与线a2b2c2积分2x2y2z与{,,}同向,是指曲面的外侧,而与222曲abc面积2x2y2z分{,,}同向,是指曲面的内侧222abc杨建

3、新第五节对坐标的曲面积分二概念的引入实例:流向曲面一侧的流量.第十(1)流速场为常向量v,有向平面区域A,求单位章时间流过A的流体的质量(假定密度为1).曲线v积分流量与曲面Avcos积00分AnAvnvA杨建新第五节对坐标的曲面积分设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为1)的速度场由vPxyzi(,,)Qxyzj(,,)Rxyzk(,,)第十给出,Σ是一片有向曲面,函数PQR,,都在Σ上连续,章曲求在单位时间内流向Σ指定侧的流体的质量线积z分与.曲面积分yox杨建新第五节对坐标的曲面积分1.分割把曲面Σ分成n小块s(

4、s同时也代表第iii小块曲面的面积),在s上任取一点(i,i,i)第i十则该点流速为vi.法向量为ni.章vi曲ni{cos,cos,cos}iii,zSini(,,)线iii积通过s流向指定侧i分与的流量的近似值为曲面积分yox杨建新第五节对坐标的曲面积分2.求和通过Σ流向指定侧的流量n第vnSiii十i1章3.取极限曲线积分与曲面积分杨建新第五节对坐标的曲面积分三、概念及性质定义设Σ为光滑有向曲面,Fxyz(,,)是Σ上的向第十量值函数,nxyz(,,)是Σ在(,,)xyz处与曲面的章曲侧一致的单位法向量

5、,称FndS为Fxyz(,,)沿有线积分向曲面上的积分（第二类曲面积分）,记做FdS与曲面积若曲面是分片光滑的,FdS定义为F沿着分的各光滑有向曲面积分的和杨建新第五节对坐标的曲面积分FPxyzi(,,)Qxyzj(,,)Rxyzk(,,)n{cos,cos,cos}第Pxyz(,,)cosdS十称为P沿着有向曲面对坐标章曲yz的积分,记为Pxyzdydz(,,)线积Qxyz(,,)cosdS分称为Q沿着有向曲面对坐标与曲面xz的积分,记为Qxyzdxdz(,,)积分称Rxyz(,,)

6、cosdS为R沿着有向曲面对坐标xy的积分,记为Rxyzdxdy(,,)杨建新第五节对坐标的曲面积分存在条件:第当PQR,,曲面Σ上连续时,对坐标的曲面积分存在.十章组合形式:曲线积物理意义:分与曲面积分杨建新第五节对坐标的曲面积分性质:第1.PdydzQdzdxRdxdy十12章PdydzQdzdxRdxdyPdydzQdzdxRdxdy曲12线积分2.P(x,y,z)dydzP(x,y,z)dydz与曲Q(x,y,z)dzdxQ(x,y,z)dzdx面积分R(x,y,

7、z)dxdyR(x,y,z)dxdy杨建新第五节对坐标的曲面积分四、对坐标的曲面积分的计算法第设Σzz(x,y),Σ在xoy面上的投影为Dxy，则十章zRxyzdxdy(,,)zf(x,y)曲线积Rxyzxydxdy[,,(,)]分与Dxy曲oy面上侧取正，下侧取负Dxy积(s)分xy在xoy平面投影区域面积为x0，则R(x,y,z)dxdy0杨建新第五节对坐标的曲面积分证明由于Rxyzdxdy(,,)Rxyz(,,)cosdS第曲面Σ取上侧，法向量方向余弦为{cos,cos,cos}十章1则

8、cos.22曲1zzxy线积1