对坐标的曲面积分(打印

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1、对坐标的曲面积分一、有向曲面及曲面元素的投影二、对坐标的曲面积分的概念与性质三、对坐标的曲面积分的计算法四、两类曲面积分的联系第八章第三节曲面积分其方向用法向量指向•设为有向曲面,有向曲面,表示:其面元在xoy面上的投影记为的面积为则规定类似可规定注意：小曲面块⊿S往某坐标平面上投影时，⊿S上各点的法向量的相应的方向余弦应保号（否则应对⊿S再分块）。如Σ：，往平面xOy投影时应分成上下两块Σ1:；Σ2:二、对坐标的曲面积分的概念与性质1.引例设稳定流动的不可压缩流体的速度场为求单位时间流过有向曲面的流量.分析:若是面积为S的平面,则流量(设体密

2、度为1)就为斜柱体体积法向量:流速为常向量:对一般的有向曲面,用“大化小,常代变,近似和,取极限”对稳定流动的不可压缩流体的速度场进行分析可得,则设为光滑的有向曲面,在上定义了一个意分割和在局部面元上任意取点,分,记作P,Q,R叫做被积函数;叫做积分曲面.或第二类曲面积分.下列极限都存在向量场若对的任则称此极限为向量场A在有向曲面上对坐标的曲面积2.定义.引例中,流过有向曲面的流体的流量为称为Q在有向曲面上对z,x的曲面积分;称为R在有向曲面上对x,y的曲面积分.称为P在有向曲面上对y,z的曲面积分;三、对坐标的曲面积分的计算法定理:

3、设光滑曲面取上侧,是上的连续函数,则证:∵取上侧,•若则有•若则有(前正后负)(右正左负)说明:如果积分曲面取下侧,则计算方法可概括为：“一代、二投影、三定向”“一代”曲面方程代入被积函数；“二投影”给出Σ在相应坐标平面上的投影区域；“三定向”即选取正负号。例1计算曲面积分其中Σ是长方体Ω的整个表面的外侧，Ω={（x，y，z）

4、0≤x≤a，0≤y≤b，0≤z≤c}。Σ1：z=c(0≤x≤a，0≤y≤b)的上侧；Σ2：z=0(0≤x≤a，0≤y≤b)的下侧；Σ3：x=a(0≤y≤b，0≤z≤c)的前侧；Σ4：x=0(0≤y≤b，0≤z≤c)的后侧；

5、Σ5：y=b(0≤x≤a，0≤z≤c)的右侧；Σ6：y=0(0≤x≤a，0≤z≤c)的左侧；解：把有向曲面Σ分成以下六部分：应用公式（４）就有类似地可得于是所求曲面积分为(a+b+c)abc。除Σ3、Σ4外，其余四片曲面在yOz面上的投影为零，因此例2.计算其中是以原点为中心,边长为a的正立方体的整个表面的外侧.解:利用对称性.原式的顶部取上侧的底部取下侧解:把分为上下两部分根据对称性思考:下述解法是否正确:例3.计算曲面积分其中为球面外侧在第一和第八卦限部分.说明：对坐标的曲面积分由于有　的取向在内，所以具有和重积分，第一类曲线积分，第一类

6、曲面积分在对称性问题上相反的结论。即若　关于xoy面对称，则例4.设S是球面的外侧,计算解:利用轮换对称性,有四、两类曲面积分之间的联系1．设有向曲面Σ由方程z=z(x，y)给出，Σ在xOy面上的投影区域为Dxy，函数z=z(x，y)在Dxy上具有一阶连续偏导数，R(x，y，z)在Σ上连续。如果Σ取上侧，则由对坐标的曲面积分计算公式（1）有另一方面，因上述有向曲面Σ的法向量的方向余弦为故由对面积的曲面积分计算公式有由此可见，有如果Σ取下侧，则由（1′）有但这时因此（2）式仍成立。类似可推得（3）（4）合并（2）、（3）、（4）三式，得两类曲面积分之间的

7、如下关系：（5）其中cosα、cosβ、cosγ是有向曲面Σ上点（x，y，z）处的法向量的方向余弦。令向量形式(A在n上的投影)有向曲面元例5把对坐标的曲面积分化成对面积的曲面积分，其中Σ是z=8－(x2+y2)在xOy面上方部分的上侧解：N={－zx，－zy，1}={2x，2y，1}n={cosα，cosβ，cosγ}例6.位于原点电量为q的点电荷产生的电场为解:。求E通过球面:r=R外侧的电通量.例7.设是其外法线与z轴正向夹成的锐角,计算解:例8.计算曲面积分其中解:利用两类曲面积分的联系,有∴原式=旋转抛物面介于平面z=0及z=2之间部分

8、的下侧.原式=内容小结定义:1.两类曲面积分及其联系性质:联系:思考:的方向有关,上述联系公式是否矛盾?两类曲线积分的定义一个与的方向无关,一个与2.常用计算公式及方法面积分第一类(对面积)第二类(对坐标)二重积分(1)统一积分变量代入曲面方程(方程不同时分片积分)(2)积分元素投影第一类：面积投影第二类：有向投影(4)确定积分域把曲面积分域投影到相关坐标面注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况.转化当时，（上侧取“+”,下侧取“”)类似可考虑在yoz面及zox面上的二重积分转化公式.思考与练习1.设则取上侧时,取下侧时,是平面在第四卦限部分

9、的上侧,计算提示:求出的法方向余弦,转化成第一类曲面积分2.设备用题求取外侧.解:注意±号其