资源描述：
《类对坐标的曲面积分》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1小结思考题作业概念的引入概念与性质对坐标的曲面积分的计算法两类曲面积分之间的联系10.5第二类(对坐标)的曲面积分surfaceintegral第10章曲线积分与曲面积分2观察以下曲面的侧曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧1.有向曲面通常光滑曲面都有两侧.流向另一侧的流量问题等.(假设曲面是光滑的)一、概念的引入如流体从曲面的这一侧3有两侧的曲面.规定(1)双侧曲面2.曲面的分类法向量的指向来规定曲面的两侧.这两侧一般称为分别记作规定了正、负侧的双侧曲面称为正侧和负侧,有向曲面.4对于封闭曲面,通常规定其外侧(即外法线方向所指的一侧)为正侧,而规定内侧(即内法线方向所指的一侧)为负侧
2、.对于非封闭曲面,通常规定其上侧为当曲面分为上、下两侧时,正侧,下侧为负侧.当曲面方程由z=z(x,y)给出时,规定其法向量与z轴正向的夹角为锐角的一侧为正侧,其法向量是而负侧的法向量是5对于非封闭曲面,通常规定其右侧为当曲面分为左、右两侧时,正侧,左侧为负侧.通常规定其前侧为当曲面分为前、后两侧时,正侧,后侧为负侧.6(2)单侧曲面莫比乌斯(Mobius)带.B、C粘在一起形成的环行带.不通过边界可以爬到任这在双侧曲面上是它是由一张长方形纸条ABCD,扭转一下,将A、D粘在一起,小毛虫在莫比乌斯带上,何一点去.Mobius(1790--1868)19世纪德国数学家不能实现的.7设有
3、一稳定流体,以速度流量实例(为平面A的单位法向量)(斜柱体体积)(1)流速为常向量有向平面区域A,求单位时间流过A的流量Φ(假定密度为1).有向曲面Σ(从负侧流向正侧),求流量Φ.流过当不是常量,8(2)采用元素法求流量Φ.把大范围的曲面问题化为小范围的平面的问题,并在小范围内,把流量近似地看成常向量.Σ是有向曲面.分割法向量为把曲面Σ分成n小块(ΔSi同时也代表第i小块ΔSi曲面的面积),点Mi,则该点流速为在ΔSi上任取一常向量,有向平面,流量为取近似流体流过小块ΔSi的流量ΔΦi为9求和流过有向曲面Σ(从负侧流向正侧)的总流量Φ的近似值为取极限当各小块ΔSi的最大直径取极限得到
4、流量Φ的精确值为除了流量以外,电流强度通过有向曲面的电通量Φ也可表示同一类型的极限101.定义二、概念与性质定义10.4设有分片光滑的双侧曲面Σ,取定其一侧,记这一侧的单位法向量为为定义在Σ上的向量函数.任意分ΔS1,ΔS2,…,ΔSn,割Σ为n小块,小块及其面积都记作在每一小块ΔSi上,任取一点作和式11令各小块ΔSi的最大直径若上和式有极限,则称此极限值为向量函数在有向曲面Σ上沿指定一侧的第二类(对坐标)的曲面积分,记作简记作12如曲面Σ为封闭曲面:在前面的实例中,流量Φ为流速Σ上的第二类(对坐标)的曲面积分,即电通量Φ为电流强度在曲面Σ上的第二类(对坐标)的曲面积分,即在曲面1
5、32.性质(1)线性性质(k1,k2为常数)(2)可加性若Σ由Σ1和Σ2组成,则(3)有向性第一类曲面积分14三、两类曲面积分之间的联系设(其中处的单位法向量,为有向曲面Σ在指定一侧的点(x,y,z)的方向角,一般来说,它们都是x,y,z的函数),则第二类曲面积分两类曲面积分的转化公式15四、第二类曲面积分的计算法若光滑有向曲面ΣΣ在xOy面上的投影区域为Dxy,函数z(x,y)在导数,由方程z=z(x,y)给出,Dxy上具有一阶连续偏则由16上侧为正,下侧为负化为二重积分一投二代三定号向量的点积法(合一投影法)17例外侧.其中Σ解Σ在xOy面上的投影区域为Dxy:法向量:18一投二
6、代三定号化为二重积分19前侧为正,后侧为负若光滑有向曲面Σ由方程x=x(y,z)给出,Σ在yOz面上的投影区域为Dyz,函数x(y,z)在Dyz上具有一阶连续偏导数,则化为二重积分20若光滑有向曲面Σ由方程y=y(x,z)给出,Σ在xOz面上的投影区域为Dxz,函数y(x,z)在Dxz上具有一阶连续偏导数,则化为二重积分右侧为正,左侧为负21第二类曲面积分往往用坐标形式来表示.常用记号dydz,分别表示面积元素dxdydzdx,dS在yOz平面,上的有向投影,即(它们的值或正或负,其符号取决于方向角α,β,γ是锐角还是钝角)因此第二类曲面积分可表示为第二类曲面积分的坐标形式zOx平面
7、,xOy平面22(1)认定对哪两个坐标的积分,(2)将Σ的方程代入被积函数,(3)根据Σ的侧(法向量的方向)确定二重积为这两个变量的函数,将曲面Σ表并确定Σ的投影域.上的二重积分.化为投影域分前的正负号.第二类曲面积分的计算时:23解投影域例计算其中Σ是球面外侧在的部分.把Σ分成Σ1和Σ2两部分化为二重积分一投二代三定号24极坐标25解利用两类曲面积分的联系计算.Σ取上侧,例在第一卦限部分的上侧.法向量为26化为二重积分27若分片光滑的闭曲面Σ0其中注补充
