对坐标的曲面积分(IV)

《对坐标的曲面积分(IV)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第五节一、有向曲面及曲面元素的投影二、对坐标的曲面积分的概念与性质三、对坐标的曲面积分的计算法四、两类曲面积分的联系对坐标的曲面积分第十一章一、有向曲面及曲面元素的投影曲面分类双侧曲面单侧曲面莫比乌斯带(单侧曲面的典型)双侧（封闭)曲面曲面分内侧和外侧曲面的方向双侧曲面有两个侧面，任意规定一个侧面为正侧，另一个侧面便是负侧曲面分左侧和右侧曲面分上侧和下侧为封闭曲面:一般外侧为正侧,内侧为负侧.为非封闭曲面:由曲面上法向量的方向来确定正负侧.这种取定了法向量也就确定了侧的曲面叫有向曲面有向曲面其方向用法向量指向表

2、示:方向余弦>0为前侧<0为后侧封闭曲面>0为右侧<0为左侧>0为上侧<0为下侧外侧内侧•设为有向曲面,侧的规定其面元在xoy面上的投影记为的面积为则规定类似可规定二、对坐标的曲面积分的概念与性质1.引例设稳定流动的不可压缩流体的速度场为求单位时间流过有向曲面的流量.分析:若是面积为A的平面,则流量法向量:流速为常向量:对一般的有向曲面,用“大化小,常代变,近似和,取极限”对稳定流动的不可压缩流体的速度场分析可得,则被积函数定向积分曲面类似可定义以上三个曲面积分均称为第二类（对坐标）曲面积分.（1）存在条件

3、:（2）组合形式:（3）物理意义:注：若记正侧的单位法向量为令（4）向量形式：（5）∑封闭曲面：3、对坐标的曲面积分的性质对第二类曲面积分,必须注意曲面所取的侧三、对坐标的曲面积分的计算法化成∑的投影区域上的二重积分如何投影？对坐标的曲面积分的计算法注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.一投影,二代入,三定号一投影,二代入,三定号一投影,二代入,三定号解例1例2.计算其中是以原点为中心,边长为a的正立方体的整个表面的外侧.解:利用轮换对称性.原式的顶部取上侧的底部取下侧例3解:注:如果积分曲面是由几片

4、有向光滑曲面组成的,必须分片计算积分,然后把结果相加.四、两类曲面积分之间的联系因为对面积的曲面积分为两类曲面积分之间的联系向量形式合一投影法将三种类型的积分转化为同一个坐标面上的二重积分.例1设是其外法线与z轴正向夹成的锐角,计算解:例2.计算曲面积分其中解:利用两类曲面积分的联系,有∴原式=旋转抛物面介于平面z=0及z=2之间部分的下侧.∴原式=原式内容小结定义:1.两类曲面积分及其联系性质:联系:思考:的方向有关,上述联系公式是否矛盾?两类曲面积分的定义一个与的方向无关,一个与2.常用计算公式及方法面积分

5、第一类(对面积)第二类(对坐标)二重积分(1)统一积分变量代入曲面方程(方程不同时分片积分)(2)积分元素投影第一类：面积投影第二类：有向投影(4)确定积分域把曲面积分域投影到相关坐标面注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况.转化当时，（上侧取“+”,下侧取“”)类似可考虑在yOz面及zOx面上的二重积分转化公式.作业P2293(1),(2),(4);4(1),(2)