对坐标的曲面积分(II)

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1、1一、基本概念观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的)上侧和下侧内侧和外侧左侧和右侧2曲面的分类:1.双侧曲面;2.单侧曲面.典型双侧曲面3莫比乌斯带典型单侧曲面:4曲面法向量的指向决定曲面的侧.决定了侧的曲面称为有向曲面.有向曲面的投影问题:5二、概念的引入实例:流向曲面一侧的流量.671.分割则该点流速为.单位法向量为.83.求和94.取极限10三、概念及性质11被积函数积分曲面类似可定义12存在条件:组合形式:物理意义:13性质:14四、计算法1516注意(1)对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.17解1819其中是旋转抛物

2、面取下侧。解：在xoy面投影域为取的方向为下侧，其中：把分成两部分：20取前侧；取后侧。2122例3.计算积分其中是以原点为中心,边长为a的正立方体的整个表面的外侧.解:由被积表达式及积分曲面的对称性知原式的顶部取上侧的底部取下侧23五、两类曲面积分之间的联系242526两类曲面积分之间的联系27向量形式28例4.设是其外法线与z轴正向夹成的锐角,计算解:29解303132六、小结1、物理意义2、计算时应注意以下两点曲面的侧“一投,二代,三定号”3334莫比乌斯带典型单侧曲面:35典型单侧曲面:莫比乌斯带36典型单侧曲面:莫

3、比乌斯带37典型单侧曲面:莫比乌斯带38典型单侧曲面:莫比乌斯带39典型单侧曲面:莫比乌斯带40典型单侧曲面:莫比乌斯带41典型单侧曲面:莫比乌斯带42典型单侧曲面:莫比乌斯带43典型单侧曲面:莫比乌斯带44典型单侧曲面:莫比乌斯带45典型单侧曲面:莫比乌斯带46典型单侧曲面:莫比乌斯带47典型单侧曲面:莫比乌斯带48典型单侧曲面:莫比乌斯带49