对坐标曲面积分(II)

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1、第三节一、有向曲面及曲面元素的投影二、对坐标的曲面积分的概念与性质三、对坐标的曲面积分的计算法四、两类曲面积分的联系对坐标的曲面积分第十一章一、有向曲面及曲面元素的投影•曲面分类双侧曲面单侧曲面莫比乌斯带曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分左侧和右侧(单侧曲面的典型)方向余弦前侧正，后侧负封闭曲面侧的规定右侧正，左侧负上侧正，下侧负外侧正，内侧负其方向可用法向量指向指定了侧的曲面叫有向曲面,二、对坐标的曲面积分的概念与性质1.引例设稳定流动的不可压缩流体的速度矢量场为求单位时间流过有向曲面的流量.分析:若是面积为S的平面,则流量法向量:流速为常向量:对一般的有向曲面,用“

2、分割,近似,求和,取极限”对稳定流动的不可压缩流体的速度场进行分析可得设为光滑的有向曲面,指定了的一侧上的单位法矢量定义了一个分,记作P,Q,R叫做被积函数;叫做积分曲面.或第二类曲面积分.向量场则称此极限为向量场F在有向曲面上对坐标的曲面积2.定义.引例中,流过有向曲面的流体的流量为称为Q在有向曲面上对z,x的曲面积分;称为R在有向曲面上对x,y的曲面积分.称为P在有向曲面上对y,z的曲面积分;若记正侧的单位法向量为令注意这里的与二重积分的表示的含义不一样注意这里的是有向面积投影，前正后负，右正左负，上正下负。3.性质(1)若之间无公共内点,则(2)用ˉ表示的

3、反向曲面,则则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式三、对坐标的曲面积分的计算法定理:设光滑曲面取上侧,是上的连续函数,则证:∵取上侧,•若则有•若则有(前正后负)(右正左负)说明:如果积分曲面取下侧,则例1.计算其中是以原点为中心,边长为a的正立方体的整个表面的外侧.解:利用对称性.原式的顶部取上侧的底部取下侧解:把分为上下两部分根据对称性思考:下述解法是否正确:例2.计算曲面积分其中为球面外侧在第一和第八卦限部分.例3.设S是球面的外侧,计算解:利用轮换对称性,有四、两类曲面积分的联系令向量形式(A在n上的投影)例4.位于原点电量为q的点电荷产生的电场为解:。求E

4、通过球面:r=R外侧的电通量.例5.设是其外法线与z轴正向夹成的锐角,计算解:例6.计算曲面积分其中解:利用两类曲面积分的联系,有∴原式=旋转抛物面介于平面z=0及z=2之间部分的下侧.原式=性质:联系:内容小结2.常用计算公式及方法面积分第一类(对面积)第二类(对坐标)二重积分(1)统一积分变量代入曲面方程(方程不同时分片积分)(2)积分元素投影第一类：面积投影第二类：有向投影(4)确定积分域把曲面积分域投影到相关坐标面注：对坐标的曲面积分里上正下负，右正左负，前正后负.转化思考与练习1、设则取上侧时,取下侧时,是平面在第四卦限部分的上侧,计算求出的法方向余弦,转化成

5、第一类曲面积分2、设备用题求取外侧.解:注意±号其中利用轮换对称性