D115对坐标曲面积分

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1、第五节一、有向曲面及曲面元素的投影二、对坐标的曲面积分的概念与性质三、对坐标的曲面积分的计算法四、两类曲面积分的联系对坐标的曲面积分第十一章一、有向曲面及曲面元素的投影•曲面分类双侧曲面单侧曲面莫比乌斯带曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分左侧和右侧(单侧曲面的典型)其方向用法向量指向方向余弦>0为前侧<0为后侧封闭曲面>0为右侧<0为左侧>0为上侧<0为下侧外侧内侧•设为有向曲面,侧的规定指定了侧的曲面叫有向曲面,表示:其面元在xOy面上的投影记为的面积为则规定类似可规定二、对坐标的曲面积分的概念与性质1.

2、引例设稳定流动的不可压缩流体的速度场为求单位时间流过有向曲面的流量.分析:若是面积为S的平面,则流量法向量:流速为常向量:对一般的有向曲面,用“大化小,常代变,近似和,取极限”对稳定流动的不可压缩流体的速度场进行分析可得,则设为光滑的有向曲面,在上定义了一个意分割和在局部面元上任意取点,分,记作P,Q,R叫做被积函数;叫做积分曲面.或第二类曲面积分.下列极限都存在向量场若对的任则称此极限为向量场A在有向曲面上对坐标的曲面积2.定义：引例中,流过有向曲面的流体的流量为称为Q在有向曲面上对z,x的

3、曲面积分;称为R在有向曲面上对x,y的曲面积分.称为P在有向曲面上对y,z的曲面积分;若记正侧的单位法向量为令则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式3.性质(1)若之间无公共内点,则(2)用¯表示的反向曲面,则三、对坐标的曲面积分的计算法定理:设光滑曲面取上侧,是上的连续函数,则如果积分曲面取下侧,则•若则有•若则有(前正后负)(右正左负)例1.计算其中是以原点为中心,边长为a的正立方体的整个表面的外侧.解:利用对称性.原式的顶部取上侧的底部取下侧解:把分为上下两部分根据对称性思考:下述解法

4、是否正确:例2.计算曲面积分其中为球面外侧在第一和第八卦限部分.四、两类曲面积分的联系11.3.33、计算其中∑为圆柱面x2+y2=a2在第一卦限中被平面z=0及z=h(h>0)∑在yoz面中投影域为D：0≤y≤a,0≤z≤h.解：∑在xoy中无投影，∴所截出部分曲面块的前侧，a和h均为正数。zdxdy=0.；11.3.36、计算其中∑是下半球面解：∑在xoy面上的投影域为D：x2+y2≤R2.的下侧，a为正数。11.3.37、计算其中∑是锥面它们在xoy面上的投影域都为D：x2+y2≤1.dxdy;对∑2，d

5、S=dxdy.与平面z=1所围成的区域的边界曲面。解：∑的锥面部分为∑1，平面部分为∑2，dS=对∑1，11.3.44、计算其中∑是曲面z=x2+y2被平面z=4截下的有限部分曲面，并取∑的内侧为正侧。∑在xoy面上的投影域为D：x2+y2≤4,解：cosα,cosβ,cosγ是∑的法线方向的方向余弦，且cosγ≥0.