2015-2016数学分析2复习

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1、练习题一第一大题判断题（说明理由）1、若收敛，则收敛。2、在内可积。3、级数是收敛的。4、函数项级数在实数集上一致收敛。第二大题计算题1、求。2、求极限。3、求。4、计算曲线，的弧长。第三大题判敛题1、判断级数绝对收敛、条件收敛还是发散。2、判断无穷积分的敛散性。第四大题求幂级数的收敛域及和函数。第五大题计算题1、把展开成的幂级数。2、把在展开成傅里叶级数。第六大题证明：，其中为正整数。第七大题设函数，求。练习题二第一大题判断题（说明理由）1、由于，所以。2、若，则一定收敛。3、若正项级数收敛，则一定收敛。4、级数是绝对收敛的。第二

2、大题计算题1、求。2、求极限。3、求。4、求由曲线与直线所围图形绕轴旋转一周所成旋转体的体积。5、设，求。第三大题判敛题1、判别级数的敛散性。2、判断无穷积分的敛散性。第四大题求幂级数的收敛域及和函数。第五大题计算题1、把展开成的幂级数。2、把在展开成傅里叶级数。第六大题证明：（为正整数）。第七大题设函数，求。练习题一答案第一大题判断题解：1.错误。收敛，但发散。2.错误。将用任意分法分为个小闭区间，（其中），则在每一个小闭区间（）上，，，。，所以在上不可积。3.正确。，原级数收敛。4.正确。，而收敛，所以由M判别法可知在实数集上一

3、致收敛。第二大题计算题解：1.2.3.==4.第三大题判敛题1.，而，可由比值法的极限形式证明收敛，于是收敛，即绝对收敛。2.设，。在单调，且，，由狄里克雷判别法知收敛。第四大题计算题解：，所以收敛半径。当时，级数为，发散；当时，级数为，发散；于是幂级数的收敛域为。在内设幂级数的和函数为，即,两边从0到积分，得,两边对求导，得．第五大题计算题解：1.，于是。2.在为奇函数，所以，，，所以，当时，傅里叶级数收敛于。第六大题证明题证明：由积分中值定理，存在，使。第七大题计算题，，收敛，由M判别法知在一致收敛。且函数在连续，。练习题二答案

4、第一大题判断题解：1.错误。因为，为瑕点，不能用求定积分的牛顿-莱布尼茨公式来计算。正确做法：，而，于是发散。2.错误。反例：，，但是发散。3.正确。，正项级数收敛，由比较法极限形式知收敛。4.正确。，而，可由比值法的极限形式证明收敛，于是收敛，即绝对收敛。是绝对收敛的。第二大题计算题解：1.设，2.3.4.5..第三大题判敛题1.设，。单调递减，且，即有界；由莱布尼茨判别法知收敛，所以由阿贝尔判别法知级数收敛。2.，由收敛知收敛。第四大题计算题解：，所以收敛半径。当时，级数为，发散；当时，级数为，由莱布尼茨定理知其收敛；于是幂级数

5、的收敛域为。在内设幂级数的和函数为，即,于是．两边从0到积分，得，注意到，于是．因为级数和函数处有定义且连续，所以在内．第五大题计算题解：1.又，，所以，2.在为奇函数，所以。所以，当时，傅里叶级数收敛于当时，傅里叶级数收敛于第六大题证明：对，设，，；。（定积分和积分变量无关）第七大题解：，，收敛，由M判别法知在一致收敛。且函数在连续，于是。