2016数学分析2复习题级数部分

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1、级数一、数项级数1.级数攵敛的定义为：(1).用定义判别£ln—的敛散性.(2)证明：若<@泊+纭)收敛，且则级数£毎收敛.“In如杓2.级数工冷收敛的柯西准则为：(1)用柯西收敛准则证明：若跃,收敛，则级数工⑷”+如)收敛,其中为常数.3.级数工叫收敛的必要条件为：如：判别亍(-1)”也的敛散性心2n+14.收敛级数的性质(简述)如：£(竺丫—丄)级数部分和数列有界是级数收敛的—条件，部分和数h-1nn列有界是正项级数收敛的条件.如证明：若｛色｝单调减少,a>i(neNJ,且色tI/toq,则级数三收敛6重要比较标准：Xacf•zr~O当q时，收敛当q时,发散；7.叙述正项级

2、数比较法及其极限形式、比式法与根式法的极限形式、积分判别法，并判别敛散性：d)£H=12“+(—iry-e651⑵工学eln8

3、(3)£(l-cos〒)心yjn7?+5⑷若如+2)n24-1

4、⑸計R⑹兄&绝対收敛与条件收敛的定义为：条件收敛的级数本身一定.(1)若IX绝对收敛，则IX必定；若IX条件收敛，则丨必定(2)证明：若工叮与工叮都收敛，则工也叫收敛.(3)设为Q”绝对收敛，证明：工匕⑷+冬+…+色)也绝对收敛.9.叙述交错级数的莱布尼茨判别法；叙述狄利克雷判别法及阿贝尔判别法；简述绝对收敛级数的性质.判别下列级数判断下列级数的收敛性，并指出是绝对收敛还是条件收敛：8

5、(

6、1)工(一1)"tan—Rn(2)<£^(#>o,0vx<龙)n=2tVnI⑶s(-iy—/?+1yjn.n7insin—(4)X—'饴T(6)x(-ir—n=P+一nn(5)XGir1—+—h其中匕工0(77=123,…厂且lim—=1皿uanj/二、函数列及其一致收敛性1.极限函数、收敛域2.｛fri(x)｝在数集。一致收敛于/(x)的定义；叙述函数列一致收敛的柯西准则及确界极限法(13丄13.2).矿十X⑴^(2,2)・怛.九(兀)=——V郭3二(2)判别一致收敛性1)无(切=竺竺在R2)(如4在［0,4(a>0);在［0,+oo)nx+n3)Z,(x)=nx(l-xr

7、,x€［0,l］3.一致收敛函数列的性质(1)若｛£(")｝的每个函数都在/斗d,b］连续，且XU)->/(x)Stoc),则()A、当妙在/上间断吋,｛/©)｝在/上不一致收敛；B、当/(x)在/上连续时，｛尤⑴｝在/上一致收敛;C、当｛成⑴｝在/上不一致收敛时，/(x)在/上间断；D、/(兀)在/上有界.(1)证明：若｛尤⑴｝在R—致收敛于/(兀)，且Vne/V+,无⑴在R—致连续，则/(兀)在R也一致连续.三、函数项级数1.收敛域、和函数的定义为2.函数项级数的一•致收敛与不一致收敛及英判别(P33-37)(1)叙述函数项级数2>“(力在数集D一致收敛的定义叙述函数项级数

8、一致收敛的柯西准则(1)叙述函数项级数一致收敛的必要条件(2)叙述M判别法、狄利克雷判别法、阿贝尔判别法，并判别一致收敛性：8JiXg»r09TTg1)，L—在R2)・E—在[一q,g](q>0)3).^2"(sin—)arctannx在R4).工(一1)"n=l1+fl21R!n=3"3.叙述和函数的连续性、可积性、可微性定理⑴证明：函数/(劝=£巴孚在(yo,+oo)上连续可导，并求hmf(x)jXx).//=in2?⑵证明：函数S(x)=t/^在(0,+oo)上内闭一致收敛、可积；并计算加.«=1〜⑶证明：函数S(x)=trncos/7x(0

9、并求其积分.,、«2如,8“+3(2)工(一1)"—兀”⑶y_I2«+1tinl(n+2))(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(C)在点x=3处收敛(D)在点x=4处发散.Zf=l4.总结求和函数方法并求和函数：(1)亍匸出"/«=in四、幕级数1•叙述阿贝尔定理：(1)己知工色匕一3)”在兀=4处发散，贝IJ其在兀=0处((2)设幕级数MX在点*-3处收敛，则()(A)在点x=3处绝对收敛(B)在点x=2处绝对收敛2.求收敛半径：弘小厲HO)、£验用叫弘"(x)］"型(皆可看做SX(x),对

10、un(x)用比式或根式法)4】flM沪I⑴已知£%"«”>())在兀=-2处条

11、件收敛,/r=!⑵求收敛域：1)%;;;”,2)£字斗_2尸”02n+1则收敛半径为2)基本展开式esinxcosx(1+x)"ln(l+x)3)用间接法展开成麦克劳林级数為皿五、函数展开为傅立叶级数sint