数量积、向量积、混合积(I)

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1、启示实例两向量作这样的运算,结果是一个数量.定义一、两向量的数量积第四节数量积、向量积、混合积数量积也称为“点积”、“内积”.结论两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积.关于数量积的说明：证证数量积符合下列运算规律：（1）交换律：（2）分配律：（3）若为数：若、为数：设数量积的坐标表达式两向量夹角余弦的坐标表示式由此可知两向量垂直的充要条件为解证实例二、两向量的向量积定义cr的方向既垂直于ar，又垂直于br，指向符合右手系.关于向量积的说明：//向量积也称为“

2、叉积”、“外积”.向量积符合下列运算规律：（1）（2）分配律：（3）若为数：证////设向量积的坐标表达式向量积还可用三阶行列式表示//由上式可推出补充例如，解解三角形ABC的面积为解定义设混合积的坐标表达式三、向量的混合积（1）向量混合积的几何意义：关于混合积的说明：解例6解式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.向量的数量积向量的向量积向量的混合积（结果是一个数量）（结果是一个向量）（结果是一个数量）（注意共线、共面的条件）四、小结练习题练习题答案例5解例6试在xOy平面上，求与a={-4,

3、3,7}垂直的单位向量。解设所求单位向量为b={m,n,p},由于它在xOy平面上，且是单位向量，所以满足六、向量的向量积定义给定向量a与b的向量积或称外积product)、叉积是满足下面条件的一个向量，记为a·b,它的模和方向为：│a×b│=│a│·│b│sin(a,b)(2)a×b分别垂直于a和b，且a,b,a×b符合右手规则（图5－14）。aba×b图5－14由图5－14及定义知，a×b的模在几何上恰为以a和b为平行四边形的面积，a×b的方向垂直于这个平行四边形所在平面。两个向量的向量积满

4、足以下运算率及性质：反交换率b×a＝－a×b与数乘向量的结合率(λa)×b=a×(λb)=λa×b(λ是实数)分配率(a+b)×c=a×c＋b×ca×(b+c)=a×b＋a×c两个非零向量a与b平行的充分必要条件是a×b＝0a×a=0为了便于记忆，上式可用行列式表示：由上式容易推得，向量a与b平行的充要条件是即对应坐标成比例。已知a={4,2,－1},b={3,0,2},求a×b.例7例8求以A(4,10,7),B(7,9,8),C(5，5，8）为顶点的三角形的面积S.