数量积向量积混合积(VI)

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1、例5：一向量与轴组成的角是它们的两倍,确定这向量的方向。解：先求方向余弦，再求方向角。又又或或1第一节、向量及其线性运算第三节、曲面及其方程第8章本章内容：第二节、数量积向量积*混合积第8章空间解析几何与向量代数第四节、空间曲线及其方程第五节、平面及其方程第六节、空间直线及其方程2一、两向量的数量积二、两向量的向量积三、小结3一、两向量的数量积沿与力夹角为的直线移动,1.定义设向量的夹角为,称记作数量积(点积、内积、标量积).引例.设一物体在常力F作用下,位移为s,则力F所做的功为注：数量积是数，不是向量4记作故2.性质为两个非零向量,则有两个向量

2、的数量积＝其中一个向量的模和另一个向量在这个向量的方向上投影的乘积。53.运算律(1)交换律(2)结合律(3)分配律事实上,当时,显然成立；64.数量积的坐标表示设则利用数量积的运算性质得：当为非零向量时,由于两向量的夹角公式,得两个向量的数量积＝它们对应坐标的乘积之和。则当7例1.证明三角形余弦定理证:则如图.设8例2：已知求的模.解：根据数量积的性质和定义，得9解10证11二、两向量的向量积引例.设O为杠杆L的支点,有一个与杠杆夹角为是一个向量M：的力F作用在杠杆的P点上,则力F作用在杠杆上的力矩在研究物体转动问题时，还要分析这些力所产生的力矩。其

3、大小其中称为力臂——O点到力的作用线的距离。不但要考虑物体所受的力，12力矩的方向是这样确定的：其方向符合右手规则也就是垂直于和所确定的平面。即：构成右手系。即当右手的四个手指指向的方向，握拳转向时,大拇指所指的方向为力矩的方向。这种由两个已知向量按上述方法确定的另一个向量，数学上称这个向量是已知两个向量的向量积。131.定义定义向量方向:(叉积、外积)记作且符合右手规则模:向量积,称引例中的力矩思考:对应的三角形面积S＝注：几何上表示以为临边的的平行四边形的面积。142.性质为非零向量,则∥∥3.运算律(2)分配律(3)结合律(证明略)证明:注：

4、15上式均称为向量积的坐标表达式。4.向量积的坐标表示式16例如，//由上式可推出17例1：设是夹角为的单位向量，求以为临边的平行四边形的面积。解：18例2已知解：19例3.设,求同时垂直于的(1).单位向量(2).模为解：先求出同时垂直于的向量20(2).设由题意可知得令即或21设求解因为而所以例4（统考）22已知三角形两边计算及高解例5的长.（统考）23已知向量与垂直，且知模为3，求和解由知所以或例6.（统考）24设计算及并求夹角的正弦和余弦。例7.解:（统考）25设求解因为所以例8.（统考）26已知求三角形的面积.则例9.解（统考）27内容小结设

5、1.向量运算加减:数乘:点积:叉积:28P221，3,4,6,7,9(1);(2),10作业291.已知求的模.练习：2.已知单位向量轴的夹角为钝角，30