第3章《导数及其应用-3.1.1 平均变化率》导学案

《第3章《导数及其应用-3.1.1 平均变化率》导学案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第3章《导数及其应用-3.1.1》导学案教学过程一、问题情境某市某年3月和4月某天日最高气温记载如下:时　间3月18日4月18日4月20日日最高气温3.5℃18.6℃33.4℃　　“气温陡增”这一句生活用语用数学方法如何刻画？二、数学建构问题1　“气温陡增”是一句生活用语，它的数学意义是什么？(形与数两方面)[1]问题2　如何量化(数学化)曲线上升的陡峭程度？[2]解　通过讨论，给出函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率:.概念理解1.具体计算函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率可用

2、==，应注意分子、分母的匹配.2.函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率近似地刻画了曲线在某区间上的变化趋势，从定义看，f(x)在区间上的平均变化率就是直线AB的斜率.巩固概念问题3　回到问题1中，从数和形两方面对平均变化率进行意义建构.解　从数的角度:3月18日到4月18日的日平均变化率约为0.5；4月18日到4月20日的日平均变化率为7.25.从形的角度:比较斜率大小.[3]三、数学运用【例1】　设函数y=x2-1，当自变量x由1变到1.1时，求:(1)自变量的增量Δx；(2)函数的增量Δ

3、y；(3)函数的平均变化率.(见学生用书P41)[规范解答]　解　(1)Δx=1.1-1=0.1.(2)Δy=f(1.1)-f(1)=1.12-1-(12-1)=0.21.(3)==2.1[题后反思]　求平均变化率时关键在于分清Δx与Δy分别指的是什么.变式　甲、乙两人投入相同的资金经营某商品，甲用5年时间获利10万元，乙用5个月时间获利2万元，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果？[处理建议]　学生讨论、判断，并且由学生给出理由或举出实例.[规范板书]　解　甲、乙获利的平均变化率分别为，，因为<，且甲

4、、乙投入相同的资金，所以可以认为乙的经营成果较好.【例2】　(教材第69页例4)已知函数f(x)=2x+1，g(x)=-2x，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上f(x)及g(x)的平均变化率.(见学生用书P42)[处理建议]　可回顾“必修2”中关于直线斜率的内容，让学生体会的含义.[规范板书]　解　函数f(x)在[-3，-1]上的平均变化率为=2.函数f(x)在[0，5]上的平均变化率为=2.函数g(x)在[-3，-1]上的平均变化率为=-2.函数g(x)在[0，5]上的平均变化率为=-2.[

5、题后反思]　一次函数y=kx+b在区间[m，n]上的平均变化率就等于斜率k.变式　已知某质点的运动方程为s=5t+3，则在时间[3，3+Δt]中，相应的平均速度等于　5　. (图3)【例3】　如图，路灯距地面8m，一身高1.6m的人沿路灯下方的直路以84m/min的速度从A点走向B点，求人影长度的变化速率.(结果以m/s为单位)[处理建议]　先由学生讨论，教师在学生中交流，了解学生的思考过程，侧重于理解人影长度的变化速率的意义.[规范板书]　解　84m/min=1.4m/s.设人的影长为y，行走时间为

6、x.根据相似三角形的性质，有=，得y=x.人影长度的变化速率v===.[题后反思]　几何类应用题需先观察图形，结合图形求解.*【例4】　已知函数f(x)=2x2+1，分别计算函数f(x)在区间[1，4]，[1，2]，[1，1.5]上的平均变化率.[处理建议]　引导学生利用平均变化率的概念解题.[规范板书]　解　在[1，4]上的平均变化率为=10.在[1，2]上的平均变化率为=6.在[1，1.5]上的平均变化率为=5.变式　已知函数f(x)=，计算函数f(x)在区间[1，2]上的平均变化率.[规范板书]

7、　解　在[1，2]上的平均变化率为=-.*【例5】　求函数y=x3在x0到x0+Δx之间的平均变化率.[处理建议]　本题与前面几个例题的区别在于由字母代替具体区间，但是处理问题仍然只需抓住本质，利用平均变化率的概念解题.[规范板书]　解　当自变量从x0到x0+Δx时，函数的平均变化率为=3+3x0Δx+Δx2.变式　求函数f(x)=在区间内的平均变化率.[规范板书]　解　===.四、课堂练习1.国庆黄金周七天期间，本市某大型商场的日营业额从1500万元增加到4300万元，则该商场国庆黄金周期间日营业额

8、的平均变化率是　400　万元/天. 提示　利用平均变化率的概念.2.函数f(x)=5x+4在区间[0，1]上的平均变化率是　5　. 提示　一次函数在区间上的平均变化率即为斜率.3.函数f(x)=x2-1在区间[1，m]上的平均变化率为3，则m的值为　2　. 提示　由=3，得m=2.4.已知正方形原来的边长为4m，现在边长以2m/s的速度增加，若设正方形的面积为S(单位:m2)，时间为t(单位:s)，则由时间t到t+1正方形的面积增加了　20+8t　m2.