第3章《导数及其应用-3.1.2 瞬时变化率——导数》导学案

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1、第3章《导数及其应用-3.1.2》导学案(2)教学过程一、问题情境在物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度，它反映了物体在某段时间内运动的快慢程度，那么，如何精确刻画物体在某一时刻运动的快慢程度呢？先看实例.跳水运动员在从10m跳台腾空到入水的过程中，不同时刻的速度是不同的.假设ts后运动员相对于水面的高度为H(t)=-4.9t2+6.5t+10，试确定t=2s时运动员的速度.[1]二、数学建构问题1　求出运动员在2s到2.1s内(即t∈[2，2.1])的平均速度.解　==-13.59m/s.问题2　利用计算器，请分组算出更短的时间内的平均速度.解　t∈

2、[2，2.01]，=-13.149；t∈[2，2.001]，=-13.1049；t∈[2，2.0001]，=-13.10049；t∈[1.9，2]，=-12.61；t∈[1.99，2]，=-13.051；t∈[1.999，2]，=-13.0951.问题3　观察所得的数据，你能发现当Δt无限逼近于0时，平均速度无限逼近于什么？[2]解　-13.1.概念生成一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体位移s(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t=t0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率.问题4　类比瞬时速度的概念，你能否概括出瞬时加速度的概

3、念？解　一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t=t0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率.[3]三、数学运用【例1】　(教材第74页例2)设一辆轿车在公路上做加速直线运动，假设ts时的速度为v(t)=t2+3，求t=t0时轿车的加速度a.(见学生用书P45)[处理建议]　利用瞬时加速度的定义，先求平均加速度.[规范板书]　解　在t0到t0+Δt的时间内，轿车的平均加速度为====2t0+Δt，当Δt→0时，→2t0，即a=2t0.所以，当t=t0时轿车的瞬时加速度为2t0.变式　物体运

4、动的速度v(单位:m/s)与时间t(单位:s)的关系是v(t)=t2+4t，求t=2时物体的瞬时加速度.解　在2到2+Δt的时间内，轿车的平均加速度为===8+Δt，当Δt→0时，→8，即a=8.所以，当t=2时轿车的瞬时加速度为8m/s2.【例2】　一个做直线运动的物体，其位移S(单位:m)与时间t(单位:s)的关系是S=3t-t2.(见学生用书P46)(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t=2时的瞬时速度；(3)求t=0到t=2时的平均速度.[处理建议]　初速度是t=0时的瞬时速度，本题需先求出平均速度，然后利用瞬时速度的定义进行求解.[规范板书]　解　在t

5、0到t0+Δt的时间内，轿车的平均速度为===(3-2t0)-Δt，当Δt→0时，→3-2t0.所以，当t=t0时轿车的瞬时速度为3-2t0.(1)初速度v(0)=3.(2)t=2时的瞬时速度v(2)=-1.(3)t=0到t=2时的平均速度==-2.[题后反思]　本题应注意瞬时速度与平均速度的区别.变式　一个质点沿直线运动，运动方程为S=10+8t-4t2，其中t的单位为s，S的单位是m.(1)计算[t，t+Δt]内的平均速度v；(2)求当t=0，1，2，3时刻的瞬时速度.[规范板书]　解　(1)在t到t+Δt的时间内，质点的平均速度为===8-8t-4Δt.(2)

6、由(1)知，当Δt→0时，→8-8t，所以ts时质点的瞬时速度为(8-8t)m/s.t=0时的瞬时速度为8m/s；t=1时的瞬时速度为0m/s；t=2时的瞬时速度为-8m/s；t=3时的瞬时速度为-16m/s.【例3】　某容器里装有1L纯酒精，如果以0.1L/s的速度往容器里注水，求酒精浓度在t时刻的变化率.(见学生用书P46)[处理建议]　本题应找出浓度的瞬时变化率与瞬时速度的共同点，为导数的形式化定义做铺垫.[规范板书]　解　酒精浓度c随时间t变化的关系式为c(t)==，在t到t+Δt的时间内，酒精的平均浓度为===.当Δt→0时，→.所以，t时刻酒精的瞬时变化

7、率为.[题后反思]　通过本题的讲解，让学生进一步体会瞬时变化率的本质，更好地理解概念.变式　设电量Q与时间t的函数关系为Q=2t2+3t+1，其中Q的单位为库仑，t的单位为s，求t=3时的电流强度.[处理建议]　某时刻的电流强度即为电量的瞬时变化率.[规范板书]　解　在t到t+Δt的时间内，电量的平均变化率为===2Δt+4t+3.当Δt→0时，→4t+3.所以t=3时的电流强度为15A.*【例4】　一物体的运动方程是S=5t+t2(位移S的单位:m；时间t的单位:s)，则下述四个结论中正确的是①②④.(填序号)①物体在时间段[0，1]内的平均速度是m/s；②物