2018-2019高中数学 第3章 导数及其应用 3.1.2 瞬时变化率——导数（二）学案 苏教版选修1 -1

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1、3.1.2　瞬时变化率——导数(二)学习目标　1.理解函数的瞬时变化率——导数的准确定义，并掌握导数的几何意义.2.理解导函数的概念，了解导数的物理意义和实际意义.知识点一　函数的导数思考　函数的导数和函数的平均变化率有什么关系？答案　函数f(x)在点x0附近的平均变化率为＝，当Δx→0时，→A，A就是f(x)在点x＝x0处的导数，记作f′(x0).梳理　设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，当Δx无限趋近于0时，比值＝无限趋近于一个常数A，则称f(x)在点x＝x0处可导，并称常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0).知识点二　导数的几何意义思考　导数f

2、′(x0)有什么几何意义？答案　f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率.知识点三　导数与导函数的关系思考　导函数f′(x)和f(x)在一点处的导数f′(x0)有何关系？答案　函数f(x)在一点处的导数f′(x0)是f(x)的导函数f′(x)在x＝x0的函数值.f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值.梳理　(1)导函数的定义若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f′(x).在不引起混淆时，导函数f′(x)

3、也简称为f(x)的导数.(2)f′(x0)的意义f(x)在点x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值.1.函数f(x)在区间(a，b)内可导就是f(x)对于任意x0∈(a，b)都有f′(x0)存在.(　√　)2.f′(x0)表示函数f(x)在x＝x0处的导数，是对一个点x0而言的，它是一个确定的值.(　√　)3.f′(x)表示函数f(x)的导函数，简称导数，是对f(x)的定义域或指定的区间(a，b)而言的.(　√　)4.f(x)在其定义域内的每一点x0都一定有f′(x0)存在.(　×　)类型一　求函数的导函数例1　求函数y＝在x＝1处的导数.考点　函数在一点处的导

4、数题点　根据定义求函数在某点处的导数解　Δy＝－1，＝＝＝.当Δx→0时，＝→，∴y＝在x＝1处的导数为.反思与感悟　根据导数的定义，求函数y＝f(x)在点x0处的导数的步骤(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率＝；(3)得导数，当Δx→0时，→f′(x0).关键是在求时，要注意分式的通分、无理式的分子有理化等常用技巧的使用.跟踪训练1　利用定义求函数y＝x＋在x＝1处的导数.考点　函数在一点处的导数题点　根据定义求函数在某点处的导数解　∵Δy＝(x＋Δx)＋－＝Δx－，∴＝1－，从而，当Δx→0时，1－→1－，∴函数f(x)在x＝1处的导数为0.例2　求函数

5、y＝－x2＋3x的导函数.考点　函数的导数题点　根据定义求函数的导函数解　∵＝＝3－2x－Δx，∴当Δx→0时，3－2x－Δx→3－2x，故函数f(x)的导函数为f′(x)＝3－2x.反思与感悟　利用导数的定义求函数的导函数是求函数的导函数的基本方法，此方法还能加深对导数定义的理解，而求某一点处的导数时，一般是先求出导函数，再计算这点的导数值.跟踪训练2　求函数f(x)＝x－的导函数.考点　函数的导数题点　根据定义求函数的导函数解　∵Δy＝(x＋Δx)－－＝Δx＋，∴＝1＋，∴当Δx→0时，1＋→1＋，∴函数f(x)的导函数为f′(x)＝1＋.类型二　导数几何意义的应用例3　(1)求曲线y＝f

6、(x)＝x3＋2x－1在点P(1,2)处的切线方程；(2)求曲线y＝2x2－7过点P(3,9)的切线方程.考点　切线方程求解及应用题点　求曲线的切线方程解　(1)易证得点P(1,2)在曲线上，由y＝x3＋2x－1，得Δy＝(x＋Δx)3＋2(x＋Δx)－1－x3－2x＋1＝(3x2＋2)Δx＋3x·(Δx)2＋(Δx)3，＝3x2＋2＋3x·Δx＋(Δx)2.当Δx→0时，＝3x2＋2＋3x·Δx＋(Δx)2→3x2＋2，即f′(x)＝3x2＋2，所以f′(1)＝5.故点P处的切线斜率为k＝5.所以点P处的切线方程为y－2＝5(x－1)，即5x－y－3＝0.(2)由于点P(3,9)不在曲线上.

7、设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k＝4x0，故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0).将P(3,9)及y0＝2x－7代入上式，得9－(2x－7)＝4x0(3－x0).解得x0＝2或x0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25).从而所求切线方程为8x－y－15＝0或16x－y－39＝0.反思与感悟　(1)利用导数的几何意义求曲线在点x＝x0处的切线方程的步骤：①求出函数y＝f(