2018-2019高中数学 第3章 导数及其应用 3.1.1 平均变化率学案 苏教版选修1 -1

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1、3.1.1　平均变化率学习目标　1.通过实例，了解平均变化率的概念，并会求具体函数的平均变化率.2.了解平均变化率概念的形成过程，会在具体的环境中，说明平均变化率的实际意义.3.了解平均变化率的正负.知识点一　函数的平均变化率在吹气球时，气球的半径r(单位：dm)与气球空气容量(体积)V(单位：L)之间的函数关系是r(V)＝.思考1　当空气容量V从0增加到1L时，气球的平均膨胀率是多少？答案　平均膨胀率为≈＝0.62(dm/L).思考2　当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是多少？答案　平均膨胀率为.梳理　函数y＝f(x)在区间

2、[x1，x2]上的平均变化率为＝，其中Δy＝f(x2)－f(x1)是函数值的改变量.知识点二　平均变化率的意义思考　如何用数学反映曲线的“陡峭”程度？答案　如图，表示A，B之间的曲线和B，C之间的曲线的陡峭程度，可以近似地用直线的斜率来量化.如用比值近似量化B，C这一段曲线的陡峭程度，并称该比值是曲线在[xB，xC]上的平均变化率.梳理　平均变化率的几何意义：设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲线y＝f(x)上任意不同的两点，函数y＝f(x)的平均变化率＝＝为割线AB的斜率.1.函数y＝x2＋1在[2,3]上的平均变化率是

3、5.(　√　)2.甲、乙二人销售化妆品，从2014年2月开始的3个月内，甲投入资金5万元，获利4万元，乙投入资金8万元，获利6万元.因此我们认为乙的经营效果较好.(　×　)3.一次函数任意两点的平均变化率都是相应直线的斜率.(　√　)4.函数f(x)在A(x1，y1)，B(x2，y2)上的平均变化率就是直线AB的斜率.(　√　)类型一　求函数的平均变化率例1　(1)已知函数f(x)＝2x2＋3x－5.①求：当x1＝4，x2＝5时，函数增量Δy和平均变化率；②求：当x1＝4，x2＝4.1时，函数增量Δy和平均变化率.(2)求函数y＝f(x)

4、＝x2在x＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx都为，哪一点附近的平均变化率最大？考点　平均变化率的概念题点　求平均变化率解　(1)因为f(x)＝2x2＋3x－5，所以Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1)＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－(2x＋3x1－5)＝2[(Δx)2＋2x1Δx]＋3Δx＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx.＝＝2Δx＋4x1＋3.①当x1＝4，x2＝5时，Δx＝1，Δy＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx＝2＋19＝21，＝21.②当x1＝4，x2＝4.1时，Δx＝0.1，Δy＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx

5、＝0.02＋1.9＝1.92.＝2Δx＋4x1＋3＝19.2.(2)在x＝1附近的平均变化率为k1＝＝＝2＋Δx；在x＝2附近的平均变化率为k2＝＝＝4＋Δx；在x＝3附近的平均变化率为k3＝＝＝6＋Δx.当Δx＝时，k1＝2＋＝，k2＝4＋＝，k3＝6＋＝.由于k1

6、________.考点　平均变化率的概念题点　求平均变化率答案　解析　∵A(－1,2)，B(3,4)，∴Δx＝3－(－1)＝4，Δy＝4－2＝2，∴A，B两点间的平均变化率为＝＝.(2)已知函数f(x)＝5－3x2，分别计算f(x)在区间[0,1]，[1,2]，，上的平均变化率.考点　平均变化率的概念题点　求平均变化率解　f(x)在[0,1]上的平均变化率是＝＝2－5＝－3.在[1,2]上的平均变化率是＝＝(5－3×4)－(5－3×1)＝－9.在上的平均变化率是＝＝2＝－.在上的平均变化率是＝＝2＝－.类型二　平均变化率的应用例2　在高台

7、跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.(1)求运动员在第一个0.5s内高度h的平均变化率；(2)求高度h在1≤t≤2这段时间内的平均变化率.考点　平均变化率的概念题点　平均变化率的应用解　(1)运动员在第一个0.5s内高度h的平均变化率为＝4.05m/s.(2)在1≤t≤2这段时间内，高度h的平均变化率为＝－8.2m/s.反思与感悟　(1)结合物理知识可知，在第一个0.5s内高度h的平均变化率为正值，表示此时运动员在起跳后处于上升过程；在1≤t≤2这

8、段时间内，高度h的平均变化率为负值，表示此时运动员已开始向水面下降.事实上平均变化率的值可正、可负也可以是0.(2)平均变化率的应用主要有：求某一时间段内的平均速度，物体受热膨胀率，高度(重量