资源描述：
《导数的概念及求导法则》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、自变量的变化引起函数值的变化，两个基本问题：1.函数随自变量变化的变化速度（比率）问题， 即函数对自变量的变化率问题。2.自变量的微小变化导致函数变化多少的问题。此为导数与微分的问题，本章的两个基本问题(1).切线问题:求曲线在点处的切线第一节导数的概念另一点沿曲线趋向点时,割线的极限位置1导数的定义所谓曲线在其上点处的切线,是指当上割线的斜率:当点趋于点时,.如果当时,上式极限存在,记为,即:切线斜率(2).变速直线运动的瞬时速度问题在时刻到的时间间隔内,平均速度如果当时,上式的极限存在,则设一物体作变速直线运动，运动的位置函数为,求在时刻的瞬时速度。定义1.1（导数）或若极限不存在,则称在
2、处不可导。2.为方便起见，当时,也称在点处的导数为无穷大.3.左导数:右导数:函数在处可导若左极限存在，类似定义右导数此极限值称为左导数，并称f在处左可导，记作：此时对区间I内的任一点,都对应着的一个确定的导数值,于是就构成了I上一个新的函数,这个函数称为原来函数的导函数,记为即:若函数f在区间I内的每一点处都可导(若I包含端点，则在左端点右可导，右端点处左可导），则称函数f在区间I上可导。例1.求函数(为常数)的导数.解:即:例2.求(为正整数)的导数.解:一般地,当为任意实数时,上面的公式也成立.即:例3.求的导数,及它在处的导数.解:即:类似可得:例4.求的导数.解:即:特别地:例5.例
3、6.解:注：左右导数是研究分段函数在分段点可导与否的有效工具。例7.设,求解:曲线在点处的切线的斜率。2.导数的几何意义：曲线在点处的左侧（右侧）切线的斜率。若函数f在处不可导，但单侧导数存在，则例10.求曲线在点处的切线和法线方程解:切线斜率:切线方程为:即:法线方程为:即:例11．讨论函数在点处的连续性和可导性及相应的曲线在点处切线的存在性。即存在,于是由,得:3.可导与连续的关系定理1.1这表明,在处连续.设函数在处可导，左可导左连续右可导右连续区间I上可导区间I上连续逆命题不成立：亦有处处连续但处处不可导的函数。例13.解:第二节求导的基本法则1.基本初等函数的求导公式2.四则运算定理
4、2.1设函数在点处可导,则函数在点处也可导,且证明:仅证（3）注:和与积的导数公式可以推广到任意有限多个函数.例如:例1.求下列函数的导数：解:类似地可得例2.,求解:类似地可得例3.解:例4.解:故例5.解:定理2.2设函数在区间上单调连续，2.反函数的求导法则2:定理表明反函数的导数等于直接函数在相应点处的导数的倒数注1:后面将证明若在I上，则f是I上的单调连续函数。解:的反函数为于是解:同理可得:的反函数为于是定理2.3(链式法则）或3.复合函数的求导法则证明：即:注：此为求导法则中最重要的公式，可推广到任意有限个情形。应用时要看清复合层次，求导时要由外向内逐层求导，不重复，不遗漏。例8
5、,求.例9解:解例10.求下列函数的导数:解(1)当时,因而当时,例11.求下列函数的导数:其中可导.4.初等函数的求导问题一切初等函数的求导问题都解决，可导的初等函数的导函数仍为初等函数。基本的求导公式表：例12.求下列函数的导数:此为对数求导法，当所求导的函数为连乘积函数或幂指函数时，可考虑用此法。习题2.1P.87-892.(4)3.4.6.8.10.(1)11.(1)(3)(4)(5)(6)12.(2)(4)13141623.(2)(4)(5)(6)(9)(12)(14)(15)(19)(20)(21)24.(2)(3)5.高阶导数或或即:如果的导函数在处可导，类似地定义的二阶导数在点
6、的导数为或或在点的三阶导数,记作:一般地,的阶导数在点的导数称为在点的阶导数(简称为阶导数),记作:或或二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数,函数例13.求下列函数的阶导数:解:一般地,可得:特别,特别,一般地,可得:类似地,可得:定理2.4例14.,求.解:设则于是,解:例15.求下列函数的n阶导数:例16.解:p2x,16cos)1()2(xxynn--=6.隐函数求导法显函数隐函数链式法则例17解：方程两边对求导，得：在点处切线斜率法线斜率因此所求切线与法线方程分别为与例18解：应用隐函数的求导法,得上式两边再对求导,得:例197.由参数方程确定的函数的求导法则求解:例20.设故所求的切线
7、方程为：与相对应的点为例21.已知三叶玫瑰线时，求曲线上相应点处的切线方程。解：8.相关变化率（自学内容）相关变化率例22.一气球从离开观察员500米处离地面铅直上升其速率为140米/秒。当气球高度为500米时，观察员视线的仰角增加率是多少？解：设气球上升t秒后其高度为h，观察员的仰角其中都是时间t的函数。上式两边对t求导，得：即观察员视线的仰角增加率是0.143弧度/秒。代入上式得例23.甲船向
