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1、第二节函数的求导法则内容要点一、导数的四则运算法则二、应用举例——作为变化率的导数.三、反函数的导数：反函数的导数等于直接函数导数的倒数.四、复合函数的求导法则五、初等函数的求导法则：函数的和、差、积、商的求导法则反函数的求导法则复合函数的求导法则2.2函数的求导法则1.基本求导法则与导数公式2.分段函数求导时，分界点导数用左右导数定义求.3.初等函数的求导问题4.双曲函数与反双曲函数的导数一、和、差、积、商的求导法则定理1若函数在点处可导,则它们的和、差、积、商(分母不为零)并且(1)(2)(3)证(1)、(2)略.在点处也可导,证(3)设推论(1)(2)(3)注:法则(1)、(2
2、)均可推广到有限多个函数运算的情形.例如,可导,则有设、、均即若在法则(2)中,令(为常数),则有若在法则(3)中,令(为常数),则有例1求的导数.解例2解求的导数.例3求的导数.二、反函数的导数定理2若函数在某区间内单调、可导则它的反函数在对应区间内也可导,且有或即:反函数的导数等于直接函数导数的倒数.且反函数的导数证任取给以增量由的单调性可知于是连续,又证毕.例5求函数的导数.解在内单调、可导,且在对应区间内有同理可得例6解求函数的导数.且在内单调、可导,在对应区间内有特别地三、复合函数的求导法则定理3若函数在点可导,而在点可导,则复合函数在点可导,且其导数为或链式法则证由在点可
3、导,复合函数的求导法则故注:例如,则复合函数的导数为复合求导法则可推广到多个中间变量的情形.设例7求函数的导数.解设则完例9求函数的导数.解设则注:复合函数求导既是重点又是难点.在求复合函数的导数时,要从外层,逐层推进.先求对大括号内的变量的导数再求对中括号内的变量的导数后求对小括号内的变量的导数.最在这里,首先要始终明确所求的导数是哪个函数对哪个变量管是自变量还是中间变量)求导时,不设中间变量的字母,(不的导数;其次,在逐层不要遗漏,也不要重复.熟练之后可以心中记住,一气呵成.例9求函数的导数.解完例10求函数的导数.解例11求函数的导数.解求分段函数的导数时,在每一段内的导数可按
4、一般求导法则求之,但在分段点处的导数要用左右导数的定义求之.当时,当时,当时,例19求函数的导数.解当时,当时,当时,例11求函数的导数.解当时,当时,当时,由知,所以完初等函数的求导法则1.基本求导公式2.设可导,(C是常数),则1(,))(vuvu¢±¢=¢±函数的和、差、积、商的求导法则3.反函数的求导法则若函数在某区间内单调、可导则它的反函数在对应区间内也可导,或4.设为或且且复合函数的求导法则而则的导数1.求下列函数的导数：且为常数，课堂练习1.求下列函数的导数：且为常数，解1.求下列函数的导数：且为常数，解1.求下列函数的导数：解且为常数，1.求下列函数的导数：解1.求下
5、列函数的导数：解(3)先化简，再求导1.求下列函数的导数：解(3)1.求下列函数的导数：解完(3)内容小结1.基本求导法则与导数公式注:在导数的四则运算法则中，要注意:2.分段函数求导时，分界点导数用左右导数定义求.3.初等函数的求导问题内容小结3.初等函数的求导问题任何初等函数的导数都可以按常数和基本初等函数的求导公式和上述求导法则求出.关键:正确分解初等函数的复合结构.4.双曲函数与反双曲函数的导数
