导数的概念、求导法则

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1、微积分学的创始人:德国数学家Leibniz微分学导数描述函数变化快慢微分描述函数变化程度(从微观上研究函数)导数与微分英国数学家Newton一、引例1.变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为则到的平均速度为而在时刻的瞬时速度为2.曲线的切线斜率曲线在M点处的切线割线MN的极限位置MT割线MN的斜率切线MT的斜率=割线MN的斜率的极限两个问题的共性:瞬时速度切线斜率所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.为函数关于自变量的瞬时变化率的问题二、导数的定义定义1.设函数在点存在,并称此极限为记作:则称函数若的某邻域内有定义,在点处可导,在点的

2、导数.若上述极限不存在,在点不可导.若也称在就说函数的导数为无穷大.在时刻的瞬时速度运动质点的位置函数曲线在M点处的切线斜率1.设存在,则2.已知则解:3.设存在,且求所以4.设存在,求极限解:原式存在,在点的某个右邻域内则称此极限值为在处的右导数,记作(左)(左)定义2.设函数有定义,定理2.存在不存在单侧导数若极限例如,在x=0处有若函数在开区间I内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:注意:就称函数在I内可导.若函数与则称在开区间内可导,在闭区间上可导.且例1.求函数(C为常数)的导数.解:即例2.求函数的导数.解:即四、

3、初等函数的求导问题1.常数和基本初等函数的导数(P94)说明：对一般幂函数(为常数)例如，四、导数的几何意义曲线在点的切线斜率为若曲线过上升;若曲线过下降;若切线与x轴平行,称为驻点;若切线与x轴垂直.曲线在点处的切线方程:法线方程:例7.问曲线哪一点有垂直切线?哪一点处的切线与直线平行?写出其切线方程.解:令得对应则在点(1,1),(–1,–1)处与直线平行的切线方程分别为即故在原点(0,0)有垂直切线第二节函数的求导法则二、反函数的求导法则三、复合函数求导法则四、初等函数的求导问题一、四则运算求导法则一、四则运算求导法则定理1.的和、差、

4、积、商(除分母为0的点外)都在点x可导,且此法则可推广到任意有限项的情形.推论:(C为常数)(C为常数)例1.解:例2.求证证:二、反函数的求导法则定理2.y的某邻域内单调可导,例1.求反三角函数的导数.解:设则,则在点x可导,三、复合函数求导法则定理3.在点可导复合函数且在点x可导,例2.求下列导数:解:(1)(2)(3)例如,关键:搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.例3.设求解:例4.设解:练习题练习题