D22导数的概念、求导法则-h

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1、第二章微积分学的创始人:德国数学家Leibniz微分学导数描述函数变化快慢微分描述函数变化程度都是描述物质运动的工具(从微观上研究函数)导数与微分导数思想最早由法国数学家Ferma在研究极值问题中提出.英国数学家Newton注一、引例二、导数的定义三、导数的几何意义四、函数的可导性与连续性的关系五、单侧导数第一节导数的概念第二章一、引例1.变速直线运动的速度（瞬时速度）设描述质点运动位置的函数为则到的平均速度为而在时刻的瞬时速度为自由落体运动注2.切线斜率曲线在M点处的切线割线MN的极限位置MT(当时)割线MN的斜率切线MT的斜率

2、两个问题的共性:瞬时速度切线斜率所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类似问题还有:加速度角速度线密度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题注二、导数的定义定义1.设函数在点存在,且极限为记作:即则称函数的某邻域内有定义,若在点处可导,在点的导数.运动质点的位置函数在时刻的瞬时速度曲线在M点处的切线斜率注若上述极限不存在,在点不可导.若也称在若函数在开区间I内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:注意:就说函数就称函

3、数在I内可导.的导数为无穷大.例1.求函数(C为常数)的导数.解:例2.求函数解:说明：对一般幂函数(为常数)例如，（以后将证明）例3.求函数的导数.解:则即类似可证得例4.求函数的导数.解:即或原式是否可按下述方法作:Ex1.证明函数在x=0不可导.证:不存在,Ex2.设存在,求极限解:原式三、导数的几何意义曲线在点的切线斜率为若曲线过上升;若曲线过下降;若切线与x轴平行,称为驻点;若切线与x轴垂直.曲线在点处的切线方程:法线方程:例5.问曲线哪一点有垂直切线?哪一点处的切线与直线平行?写出其切线方程.解:令得对应则在点(1,1

4、),(–1,–1)处与直线平行的切线方程分别为即故在原点(0,0)有垂直切线四、函数的可导性与连续性的关系定理1.证:设在点x处可导,存在,因此必有其中故所以函数在点x连续.注意:函数在点x连续未必可导.反例:在x=0处连续,但不可导.即在点的某个右邻域内有定义，五、单侧导数若则称之为函数在处的右导数,记作即(左)(左)例如,在x=0处有定义2.设存在,定理2.存在在点处右导数存在定理3.在点必右连续.(左)(左)若函数与都存在,则称显然:在闭区间[a,b]上可导在开区间内可导,在闭区间上可导.且内容回顾1.导数的实质:3.导数的

5、几何意义:4.可导必连续,但连续不一定可导;5.已学求导公式:6.判断可导性不连续,一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.2.增量比的极限;切线的斜率;作业：P86:6,7，9,13,16,17练习1.函数在某点处的导数区别:是函数,是数值;联系:有什么区别与联系?与导函数2.设存在,则3.设,问a取何值时,在都存在,并求出解:故时此时在都存在,显然该函数在x=0连续.第二节二、反函数的求导法则三、复合函数求导法则四、初等函数的求导问题一、四则运算求导法则函数的求导法则第二章思路:(构造性定义)求导法则其它基本初等

6、函数求导公式证明中利用了两个重要极限初等函数求导问题本节内容一、四则运算求导法则定理1.的和、差、积、商(除分母为0的点外)都在点x可导,且下面证明（2）、（3）,并同时给出相应的推论和例题.(2)证:设则有故结论成立.推论:(C为常数)例1.解:(3)证:设则有故结论成立.推论:(C为常数)1.导数----增量比值的极限复习第一节与四则运算求导法则2011.10.25例.已知则3.导数的几何意义:4.可导必连续,但连续不一定可导;5.已学求导公式:2.切线的斜率;复习2011.10.256、四则运算求导法则复习2011.10.2

7、5例2.求证证:类似可证:注二、反函数的求导法则定理2.y的某邻域内单调可导,且由反函数的连续性知因此例3.求反三角函数及指数函数的导数.解:1)设则类似可求得2)设则特别当时,在点x可导,三、复合函数求导法则定理3.在点可导复合函数且在点x可导,证:在点u可导,故（当时)故有例如,关键:搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.例4.求下列导数:解:(1)(2)(3)说明:类似可得例5.设求解:思考:若存在,如何求的导数?这两个记号含义不同练习:设例6.设解:记则(反双曲正弦)其它反双曲函数的导

8、数见P96例17.的反函数四、初等函数的求导问题1.常数和基本初等函数的导数(P95)练习1.求解:练习2.设解:求1.有限次四则运算的求导法则(C为常数)2.复合函数求导法则3.初等函数在定义区间内可导,且导数仍为初等函数内容小结4.求导公式及求