43 方程组解集的结构

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1、§4.3方程组解集的结构4.3.1齐次线性方程组4.3.2非齐次线性方程组齐次线性方程组（1）4.3.1齐次线性方程组则上述方程组（1）可写成向量方程称为方程组(1)的解向量，它也就是向量方程(2)的解．定理：齐次线性方程组有非零解等价的：齐次线性方程组只有零解推论：齐次线性方程组只有零解即即系数矩阵A可逆。证明定理若为的解，则也是的解.基础解系的定义：证明：不失一般性，不妨设系数矩阵A可由初等行变换化为现对取下列组数：依次得从而求得原方程组的个解：下面证明是齐次线性方程组的基础解系．由于个维向量线性无关，所以个维向量亦线性无关.由于是的解故也是的解.所以是齐次线

2、性方程组的一个基础解系.说明1.基础解系不是唯一的．2.若是的基础解系，则其通解为例1求齐次线性方程组的基础解系与通解.解对系数矩阵作初等行变换，变为行最简矩阵，有例2解线性方程组解对系数矩阵施行初等行变换即方程组有无穷多解，其基础解系中有三个线性无关的解向量.所以原方程组的一个基础解系为故原方程组的通解为小结2．齐次线性方程组基础解系的求法1．齐线性方程组解的情况证明非齐次线性方程组解的性质4.3.2非齐次线性方程组证明证毕．其中为对应齐次线性方程组的通解，为非齐次线性方程组的任意一个特解.非齐次线性方程组的通解定理如果非齐次线性方程组Ax=b有解,则其通解为与

3、方程组有解等价的命题线性方程组有解例1求解方程组解解例2求下述方程组的解所以方程组有无穷多解.且原方程组等价于方程组求基础解系令依次得求特解所以方程组的通解为故得基础解系另一种解法则原方程组等价于方程组所以方程组的通解为小结非齐次线性方程组解的情况思考题思考题解答