多元函数的概念(VIII)

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1、§7.2多元函数的概念一、多元函数的定义三、二元函数的连续性二、二元函数的极限四、小结一、多元函数的定义例7.4、长方体体积例7.5、柯布-道格拉斯生产函数类似地可定义三元及三元以上函数．注意定义域求法。1.【二元函数的定义】设D是R2的上的一个非空子集，称映射f:D→R为定义在D上的二元函数，通常记为：2.【多元函数】定义域D和对应法则f是二元函数的两个决定性因素定义域为圆域说明:二元函数z=f(x,y),(x,y)D图形为中心在原点的上半球面.的图形一般为空间曲面.二元函数又如定义域为【例1】求的定义域．【解】所求定义域为【注】二元函数定义域的画法（重点）例7

2、.6、例7.7根据已知函数求未知函数如已知求已知求设则则二、二元函数的极限【说明】：（1）定义中的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．（4）必须要求至少有一列点无限接近点P。若当点趋于不同值或有的极限不存在，则可以断定函数极限以不同方式趋于不存在.函数以任何方式趋于都趋于A,二重极限存在指的是，如果点以某种特殊方式趋于点时极限存在，不能说明二重极限存在。点例1：设则解:设P(x,y)沿直线y=kx趋于点(0,0),在点(0,0)的极限.则有k值不同极限不同!在(0,0)点极限不存在.例2：讨论函数【例3】求极限

3、【解Ⅰ】其中【注】原式中x,y可以有一个等于0，变形后x,y均不能等于0丢失路径x=0或y=0;【错解】【解Ⅱ】用夹逼准则证明其极限为零由夹逼准则立得例【解】原式【思考】与上例比较，本题这种做法为什么正确？注：多元函数的极限运算有与一元函数类似的运算法则【确定极限不存在的方法】(3)【特别注意】但此极限是不存在的，因为【例如】不存在例7.8三、二元函数的连续性定义设二元函数在P0及其附近有定义,如果函数在D上各点处都连续,则称此函数在D上如果存在否则称为不连续,此时称为间断点.则称二元函数连续.连续,【例4】讨论函数在(0,0)处的连续性．【解】故函数在(0,0)处连

4、续.结论:一切多元初等函数在其定义区域内连续.二元初等函数是由一个解析式表示的函数，该式子是由变量x,y以及常数经过有限次的四则运算和复合所构成的。3.【有界闭区域上连续函数的性质】在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．（1）最大值和最小值定理（2）介值定理【注】（1）（2）定理中条件的充分性.二元函数的极限二元函数的连续性闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的任意性）四、小结多元函数的定义