多元函数微分法(VIII)

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1、推广第九章一元函数微分学多元函数微分学注意:善于类比,区别异同多元函数微分法及其应用第九章第一节一、坐标平面、区域二、多元函数的概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性多元函数的基本概念一.坐标平面---1.定义DD坐标平面ooxyz坐标平面一.坐标平面---2.距离o三角不等式4一.坐标平面---3.平面点集平面点集:(a)圆C(b)矩形S一.坐标平面---4.邻域数轴上的邻域:平面上的邻域:Oxy.P0一.坐标平面---4.邻域P0---------------------方邻域圆邻域一.坐标平面---4.邻域圆邻域与方邻域等价:(你中有我,我

2、中有你)圆邻域与方邻域均称为邻域.符号表示:或一.坐标平面---4.邻域问题:以下两个集合相等吗?一.坐标平面Oxy.P02.区域(1)内点、外点、边界点设有点集E及一点P:若存在点P的某邻域U(P)E,若存在点P的某邻域U(P)∩E=,若对点P的任一邻域U(P)既含E中的内点也含E则称P为E的内点；则称P为E的外点;则称P为E的边界点.的外点,显然,E的内点必属于E,E的外点必不属于E,E的边界点可能属于E,也可能不属于E.(2)聚点若对任意给定的,点P的去心邻域内总有E中的点,则称P是E的聚点.聚点可以属于E,也可以不属于E(因为聚点

3、可以为E的边界点)说明：内点一定是聚点；边界点可能是聚点；例(0,0)既是边界点也是聚点．点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．例如,(0,0)是聚点但不属于集合．例如,边界上的点都是聚点也都属于集合．D(3)开区域及闭区域若点集E的点都是内点，则称E为开集；若点集EE,则称E为闭集；若集D中任意两点都可用一完全属于D的折线相连,开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称D是连通的;连通的开集称为开区域,简称区域;。。E的边界点的全体称为E的边界,记作E;例如，在平面上开区域闭区域整个平面点集是开集，是最大的开域,也

4、是最大的闭域；但非区域.o对区域D,若存在正数K,使一切点PD与坐标原点O的距离OPK,则称D为有界域,界域.否则称为无3.n维空间n元有序数组的全体称为n维空间,n维空间中的每一个元素称为空间中的称为该点的第k个坐标.记作即一个点,当所有坐标称该元素为中的零元,记作O.的距离记作中点a的邻域为规定为与零元O的距离为二、多元函数的概念引例:圆柱体的体积定量理想气体的压强三角形面积的海伦公式定义1.设非空点集点集D称为函数的定义域;数集称为函数的值域.特别地,当n=2时,有二元函数当n=3时,有三元函数映射称为定义在D上的n元函数,记

5、作例求的定义域．解所求定义域为二元函数的图形（如下页图）例如,二元函数定义域为圆域说明:二元函数z=f(x,y),(x,y)D图形为中心在原点的上半球面.的图形一般为空间曲面.三元函数定义域为图形为空间中的超曲面.单位闭球四.二元函数----几何意义(2)草图注1:二元函数的图形是三维空间中的一张曲面.注3:在定义域内的任一条与Z轴平行的直线，与该曲面有且只有唯一的交点.注2:其定义域D为该曲面在xoy平面上的投影！二元函数的极限---1.定义PP设P(x,y)为D内的点E当：PO任何方式总有则称f在D上当时有极限值1.引例：问题：若是f在O点没

6、定义，上述极限过程仍成立么？三、多元函数的极限定义2.设n元函数点,则称A为函数(也称为n重极限)当n=2时,记二元函数的极限可写作：P0是D的聚若存在常数A,对一记作都有对任意正数,总存在正数,切说明：（1）定义中的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．例1.设求证：证:故总有要证若当点趋于不同值或有的极限不存在，则可以断定函数极限以不同方式趋于不存在.函数二元函数的极限---不存在的例子例3：讨论的存在性。解当P(x,y)沿x轴趋于点O(0,0)时，即y=0，f(x,y)=f(x,0)=0

7、(x≠0)，当P(x,y)沿y轴趋于点O(0,0)时，即x=0，f(x,y)=f(0,y)=0(y≠0)，xyODP二元函数的极限---不存在的例子例：讨论的存在性。续解xyODP当P(x,y)沿直线y=kx轴趋于点O(0,0)时，即f(x,y)=f(x,kx)=(x≠0)，y=kx其极限值随直线斜率k的不同而不同,因此不存在.二元函数的极限---不存在的例子二元函数的极限---不存在的例子问题：不能反例：当P(x,y)沿直线y=kx轴趋于点O(0,0)时，即f(x,y)=f(x,kx)=，当P(x,y)沿曲线轴趋于点O(0,0)时，所以极限不存在确

8、定极限不存在的方法：(1)令),(yxP沿)(00xxkyy-+=趋向于),(000yxP，若极限值与k有关