多元函数的极值(VIII)

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1、第四节多元函数的极值高等数学06-04-01高等数学06-04-02极值设二元函数f(x,y)，在点P0(x0,y0)的邻近区域内有定义，且对点(x0,y0)附近除(x0,y0)之外的任一点(x,y)都满足不等式f(x,y)＜f(x0,y0)或f(x,y)＞f(x0,y0)则称二元函数f(x,y)在点(x0,y0)有极大值或极小值f(x0,y0)。极大值、极小值通称为极值，使函数取得极值的点称为极值点。（1）在点(0,0)处；（2）在点(0,0)处。高等数学06-04-03例试判定下列函数的极值情况。y

2、zxO球面x2+y2+z2=1高等数学06-04-04椭圆抛物面z=x2+y2高等数学06-04-05yzxO定理（极值存在的必要条件）设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)可微且有极值，则fx(x0,y0)=0fy(x0,y0)=0此时点(x0,y0)称为驻点。高等数学06-04-06注可微函数的极值点，一定是驻点；但驻点不一定是极值点。例z=x2+y2在点(0,0)处。高等数学06-04-07双曲抛物面（马鞍形曲面）z=x2+y2高等数学06-04-08Oyzx定理（极值存在的充分条件）设

3、函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的邻近区域内连续，且有一阶及二阶连续偏导数，又fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0，若令高等数学06-04-09（1）当B2AC＜0时，函数在点(x0,y0)处有极值，且当A＜0时，有极大值f(x0,y0)；当A＞0时，有极小值f(x0,y0)；（2）当B2AC＞0时，函数在点(x0,y0)处无极值；（3）当B2AC=0时，函数在点(x0,y0)处不能确定是否有极值。高等数学06-04-10求二元函数z=f(x,y)极值的步骤：（1）求出函数z=

4、f(x,y)的一、二阶偏导数；（2）求解方程组fx(x,y)=0,fy(x,y)=0，得各驻点；（3）对每一驻点，求出A,B,C，由B2AC的符号判断驻点是否为极值点；（4）求出极值点处的函数值。高等数学06-04-11驻点ABCB2AC判定例求函数f(x,y)=x3y3+3x2+3y29x的极值。高等数学06-04-12极大值31－6012(3,2)无极值＋6012(3,0)无极值＋6012(1,2)极小值5－6012(1,0)课堂讨论题求下列函数的极值。f(x,y)=4(x

5、y)x2y2高等数学06-04-13无条件极值对自变量只有定义域限制，没有附加其它条件，这类极值问题称为无条件极值。条件极值对自变量除了有定义域限制之外，还有附加其它条件（称为约束条件），这类极值问题称为条件极值。高等数学06-04-14例用钢板制造一个容积为4m3的无盖长方盒，问怎样选取尺寸用料最省？高等数学06-04-15课堂讨论题用钢板制造一个容积为2m3的有盖长方体水箱，问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省。高等数学06-04-16小结：多元函数的极值极值存在的必要条件极值存在的

6、充分条件条件极值高等数学06-04-17作业：P148习题六262830