多元函数的极值及其求法(VIII)

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1、1、二元函数极值的定义◆极大值和极小值统称为极值.◆函数取得极值的点称为极值点（极大值点，极小值点）.一、多元函数的极值和最值第八节多元函数的极值及其求法例1例2例3◆根据极值的定义,易知以下结果:2、二元函数取得极值的条件证明定理1(必要条件)驻点推广驻点或不可导点极值点◆问题：如何判定一个驻点是否为极值点？◆注意：例2例3定理2(充分条件)◆求二阶连续可导的函数z=f(x,y)极值的一般步骤:102030求出所有驻点：求出每个驻点处的A,B,C的值；确定每个驻点处，AC-B2的符号，并判定函数在该点处是否有极值，有极值时，由A的符号判定是极大值还是极小值.解：

2、例4例4◆在上述假设下，求最值的一般步骤：与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最值.3、多元函数的最值（最大值和最小值）假设:(2)计算在D的边界上的最大值和最小值;(3)比较出结果:最大者即为最大值,最小者即为最小值.(1)求出函数在D的内部的所有驻点处的函数值;(1)函数在有界闭区域D上连续，(2)函数在D的内部可微分，(3)函数在D的内部只有有限个驻点.★在求解实际问题时，若知道最值必在D的内部取到，且目标函数在D的内部可微分且只有唯一驻点，则该驻点即是所求的最大（小）值点.解：设水箱的长为xm,宽为ym,例5则高应为◆无条件极值：对自变量除了

3、有定域内的限制，无其它条件.◆条件极值：二、条件极值、拉格朗日乘数法解：设水箱的长为xm,宽为ym,例5则高应为高为zm,对自变量有附加条件的极值．◆拉格朗日乘数法:◆拉格朗日乘数法可用于自变量和条件多于两个的情形解：设水箱的长为xm,宽为ym,例5高为由解：由例6◆二元函数的极值的求法◆会用拉格朗日乘数法求解一些较简单的极值和最值问题（取得极值的必要条件、充分条件）◆会求一些较简单的最值的应用题四、小结与教学基本要求:◆掌握：思考题1.2.解:不一定.1.思考题解答：2.解：作业习题8-8(P61):1,4,8,9.