多元复合函数的求导法则(VIII)

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1、第四节一元复合函数求导法则本节内容:一、多元复合函数求导法则二、全微分的形式不变性微分法则多元复合函数的求导法则7/31/20211(共18页)一、多元复合函数求导法则(三种情形)定理.若函数处偏导连续,在点t可导,则复合函数证:设t取增量△t,则相应中间变量且有链式法则有增量△u,△v,7/31/20212(共18页)(全导数公式)(△t＜0时,根式前加“–”号)7/31/20213(共18页)推广:1)中间变量多于两个的情形.例如,设下面所涉及的函数都可微.2)中间变量是多元函数的情形.例如,7/31/20214(共18页)又如,当它们都具有可微条件

2、时,有注意:这里表示固定y对x求导,表示固定v对x求导口诀:分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导与不同,7/31/20215(共18页)例1.设解:7/31/20216(共18页)例2.设求全导数解:7/31/20217(共18页)为简便起见,引入记号例3.设f具有二阶连续偏导数,求解:令则7/31/20218(共18页)二、全微分的形式不变性设函数的全微分为可见无论u,v是自变量还是中间变量,则复合函数都可微,其全微分表达形式都一样,这性质叫做全微分形式不变性.7/31/20219(共18页)例1.例4.利用全微分形式不变性再解例1.解:所以7/31

3、/202110(共18页)内容小结1.复合函数求导的链式法则“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”例如,2.全微分形式不变性不论u,v是自变量还是因变量,7/31/202111(共18页)思考与练习1：分析：7/31/202112(共18页)2：分析：7/31/202113(共18页)3:分析:7/31/202114(共18页)3:….分析:7/31/202115(共18页)4:求在点处可微,且设函数分析:由题设(2001考研)7/31/202116(共18页)7/31/202117(共18页)作业P248:3;5;87/31/202118(共18页

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