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1、第四节多元复合函数的求导法则一链式法则二全微分形式不变性三小结第九章复习：一元复合函数求导的链式法则y——x——t推广:多元复合函数求导的链式法则1.中间变量均为一元函数;2.中间变量均为多元函数;3.中间变量既有一元函数又有多元函数.一、链式法则复合函数的中间变量均为一元函数的证中间变量为一元函数的情形.定理1可用下列公式计算:具有连续偏导数,函数z=f(u,v)在对应点(u,v)情形1先研究则复合函数在对应点t可导,且其导数全导数情形.全导数计算公式可微由于函数z=f(u,v)在点(u,v)有连续偏导数复合函数的中间变量多于两个的情况.定理推广导数变量树图三个中间变量称为全导数(又
2、称链导公式).例1-1解2例1解1解3:用代入法z=f(t)复合函数为则复合函数且可用下列公式具有连续偏导数,的情对x和y的偏导数,且函数z=f(u,v)在对应点(u,v)在对应点(x,y)的两个偏导数存在,情形2复合函数的中间变量均为多元函数的情形.先研究形.两个中间变量两个自变量计算:都在点(x,y)具有链式法则如图示(x,y)处具有对x和y的偏导数,中间变量多于两个的情形,即类似地再推广,复合函数在对应点(x,y)的两个偏导数存在,且可用下列公式计算:三个中间变量两个自变量都在点项数问:每一项中间变量函数对中间变量的偏导数该中间变量对其指定自变量的偏导数(或导数).的个数.函数对
3、某自变量的偏导数之结构解1:解2:用代入法情形3复合函数的中间变量既有一元函数又有多元函数的情形：变量关系图:xyvuzy例3解用代入法?特殊地即令其中两者的区别区别类似注意:防止记号的混淆例4解用代入法?解(1)可看成是由复合而成的,所以(2)设(2)(1)例5例6解例7解1989年研究生考题,计算,5分解其中f(t)二阶可导,g(u,v)有连续二阶导数,例8例9解由直角坐标与极坐标间的关系式例10解复合而成,应用复合函数求导法则,得两式平方后相加,得再求二阶偏导数,得同理可得两式相加,得全微分形式不变形的实质：无论是自变量的函数或中间变的函数，它的全微分形式是一样的.二、全微分形式
4、不变性解1:解2:用代入法例1.例1.利用全微分形式不变性再解例2.解:所以解三内容小结1.复合函数求导的链式法则“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”例如,2.全微分形式不变性不论u,v是自变量还是因变量,
