9.4多元复合函数的求导法则

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1、名师课件经典收藏课程名称《高等数学》*进入百度空间下载全套课件*1复合函数的求导法则全微分形式不变性第四节多元复合函数的求导法则第八章多元函数微分法及其应用高阶偏导数与高阶微分小结思考题作业2一、复合函数的求导法则(链导法则)回忆:对于一元函数有而对于二元函数如何求?多元复合函数的求导法则3多元复合函数的求导法则则复合函数偏导数存在,且可用下列公式计算具有连续偏导数,定理:4注意:1.(*)式中两边z的含义不同,左边的z表示已经复合的函数,右边的z表示还没有复合的函数,2.(*)式两边都在点取值.多元复合函数的求导

2、法则5项数问:每一项中间变量函数对中间变量的偏导数该中间变量对其指定自变量的偏导数(或导数).的个数.函数对某自变量的偏导数之结构多元复合函数的求导法则分量原则6网络图uv多元复合函数的求导法则网络图原则7例1.设求多元复合函数的求导法则8二.介绍”网络图”多元复合函数的求导法则全导数全导数9多元复合函数的求导法则10例2.设求例3.设有连续偏导,求多元复合函数的求导法则11多元复合函数的求导法则正确的是().例412思考题解答令则两边对t求导,得多元复合函数的求导法则13三、全微分形式不变性具有连续偏导数,则有全微

3、分则有全微分全微分形式不变性的实质多元复合函数的求导法则14引入记号:设记多元复合函数的求导法则15例6.设求通过全微分求所有一阶偏导数,比链导法则求偏导数有时会显得灵活方便.多元复合函数的求导法则16纯偏导混合偏导定义四、高阶偏导数和高阶全微分高阶偏导数.二阶及二阶以上的偏导数统称为多元复合函数的求导法则17引入记号:设记多元复合函数的求导法则18例的四个二阶偏导数.解多元复合函数的求导法则19例解有多元复合函数的求导法则20按定义得多元复合函数的求导法则21多元函数的高阶混合偏导数如果连一般地,续就与求导次序无关

4、.如果函数的两个二阶混合偏在区域D内定理连续，那么在导数该区域内但就通常所遇到的函数,在前一题中两个混合二阶偏导数相等,此种情后一题中两者不相等,这说明混合偏导数与求偏导数的次序有关.但在况不会发生,这是因为有下述的定理:如后一题中这只能说明都不连续.注多元复合函数的求导法则22多元函数的偏导数常常用于建立某些偏微分方程.偏微分方程是描述自然现象、反映自然规律的一种重要手段.例如方程(a是常数)称为波动方程,它可用来描述各类波的运动.又如方程称为拉普拉斯(laplace)方程,它在热传导、流体运动等问题中有着重要的作

5、用.多元复合函数的求导法则23例.设求多元复合函数的求导法则24答案:0解练习多元复合函数的求导法则25高阶全微分设函数在开区域D内每一点都有全微分，则当固定时，的函数，因此对可求其关于自变量同一改变量的全微分，即若则函数的二阶全微分记为同样可定义的n阶全微分多元复合函数的求导法则26其中例.求的二阶全微分.多元复合函数的求导法则27多元复合函数求导法则(链导法则)全微分形式不变性(理解其实质)多元复合函数的求导法则五、小结求抽象复合函数的高阶偏导数时要特别注意一阶偏导数仍是复合函数.高阶偏导数纯偏导混合偏导(相等的

6、条件)高阶微分28已知f(t)可微,证明满足方程提示t,y为中间变量,x,y为自变量.引入中间变量,练习则多元复合函数的求导法则291.设其中有连续的二阶偏导,求2.设均可导,求3.若其中二次可微.证明:多元复合函数的求导法则堂上练习30