多元函数的概念

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1、第一节多元函数的概念、极限与连续一、二元函数的定义二、二元函数的极限三、二元函数连续的概念一、二元函数的定义1二元函数的定义设D是xoy平面上的一个点集，如果对于D中的任意一点P(x,y)，变量z按照一定的法则总有惟一确定的值与之对应，则称变量z是变量x,y的二元函数（也可认为z是点P的函数），记作点集D称为函数的定义域，当P(x,y)遍取D中的所有点时，所得的z值构成的集合称为该函数的值域。x,y称为自变量，z也称因变量。例1设矩形的边长分别为x，y，则它的面积S为每取一组x和y的值时，就有惟一确定

2、的面积S，即面积S依赖于x和y的变化而变化，OxyD这样，其定义域为x和y为自变量，S为因变量，例2在气象学中，通常要考察温度相同的点所构成的曲面此曲面称为等温面。为一个三元方程，一般地，三元方程可以确定一个二元方程。例3求函数的定义域。解：欲使此函数有意义，x和y必须满足即故函数的定义域是OxyD例4求函数的定义域。解：要使函数有意义，x和y须满足故函数的定义域为Oxy1-11-11总结：（1）当函数关系由实际问题确定时，定义域由实际问题确定。（2）当函数关系是一个纯粹的数学公式时，定义域由使此公式

3、有意义的x和y确定。此外，还可得到区域的概念：2区域的定义由平面上一条或几条光滑的曲线所围成的具有连通性的部分平面，称为区域。所谓连通性，是指如果一块部分平面内任意两点均可以用完全属于此部分平面的折线连接起来，则称此部分平面具有连通性。围成区域的曲线称为区域的边界；边界上的点称为边界点；包括边界在内的区域称为闭区域；不包括边界的区域称为开区域。如果一个区域D内任意两点之间的距离都不超过某一常数M，则称D为有界区域，否则称无界区域。因而，例1的定义域为一个无界开区域；例3的定义域为一个有界闭区域；例4的

4、定义域为两个半开半闭的无界区域的并。以上是对于二元函数所做的讨论，从一元函数到二元函数会有很多新的问题产生，但从二元函数到三元函数、四元函数、‥‥‥则只是平凡的推广。所以我们着重研究二元函数的有关问题。二、二元函数的极限1邻域设是xOy面上一点，xOy面上所有与点P0的距离小于δ〉0的点的集合，称为P0的δ-邻域，记作V(P0,δ)，即几何意义如图所示：也可简记为V(P0)。OxyP0δ2二元函数的极限设二元函数在点P0的某邻域V(P0)内有定义（P0可以除外）,点P是V(P0)内异于P0的任意一点。

5、如果当P（x，y）以任意方式无限接近于P（x0，y0）时，对应的函数值f（x，y）无限地接近于某个确定的常数A，则称A为函数时的极限，f（x，y）当记作这个定义称为二重极限。有关一元函数极限运算的法则和定理，均可类推到二重极限。看以下例子：例5求极限解：例6求极限解：例7讨论极限是否存在？解：令，则当x→0时，y也趋于0，此时可见，此极限值所k不同而不同，即当点（x，y）以不同路径趋于点（0，0）时，得到的极限不同。不存在。因此，函数在点（0，0）处的极限三、二元函数连续的概念定义3设函数在点P0（x

6、0，y0）的某个邻域内有定义，点P（x，y）是P0邻域内的任意一点，如果则称函数在点P0处连续。如果函数在区域D内的每一点处都连续，则称在区域D内连续。二元函数的连续性有与一元函数相同的性质：二元连续函数的和、差、积、商仍然连续；二元连续函数的复合函数仍然连续；二元初等函数在其定义区域内是连续的。使二元函数不连续的点称为间断点，例如函数的间断点为平面点集可知是一个圆。例8求极限解：函数的定义域是为一个区域，而点(1,1)∈D，故函数f（x，y）在点（1,1）处连续，所以