多元函数的概念(III)

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1、推广一元函数微分学多元函数微分学注意:善于类比,区别异同多元函数微分法及其应用Longlan_sophiey@163.com第二节一、区域二、多元函数的概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性多元函数的基本概念一、区域1.邻域点集称为点P0的邻域.例如,在平面上,(圆邻域)在空间中,(球邻域)说明：若不需要强调邻域半径,点P0的去心邻域记为：也可以写成：二元函数的定义域2.区域(1)内点、外点、边界点设有点集E及一点P:若存在点P的某邻域U(P)E,若存在点P的某邻域U(P)∩E=,则称P为E的内点；则称P为E的外点;若对点P的任一邻域U(P)既含E中的

2、内点则称P为E的边界点.也含E的外点,显然,E的内点必属于E,E的外点必不属于E,E的边界点可能属于E,也可能不属于E.(2)聚点若对任意给定的,点P的去心领域内总有E中的点,则称P是E的聚点.聚点可以属于E,也可以不属于E(因为聚点可以为E的边界点）所有聚点所成的点集成为E的导集.D(3)开区域及闭区域若点集E的点都是内点，则称E为开集；若点集EE,则称E为闭集；若集D中任意两点都可用一完全属于D的开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称D是连通的;连通的开集称为开区域,简称区域;。。E的边界点的全体称为E的边界,记作E;折线相连,例如，在平面上开区

3、域闭区域整个平面点集是开集，是最大的开域,也是最大的闭域；但非区域.o对区域D,的距离APK,则称D为有界域,否则称为无界域.若存在正数K,使一切点PD与某定点A3.n维空间n元有序数组的全体称为n维空间,n维空间中的每一个元素称为空间中的一个点，称为该点的第k个坐标.记作:即:数当所有坐标时，称该元素为中的零元,记作：O.的距离记作中点a的邻域为规定为与零元O的距离为二、多元函数的概念引例:圆柱体的体积定量理想气体的压强三角形面积的海伦公式定义：设非空点集点集D称为函数的定义域；数集：称为函数的值域.映射称为定义在D上的一元函数记作：设非

4、空点集f为某一对应规则,则称对应规则f为定义在D上的二元函数，记作：使对于每一个有序数组(x,y)都有唯一确定的实数z与之对应，定义：其中，变量x,y称为自变量；z称为因变量；点集D称为函数的定义域，也可以记为D(f),设非空点集f为某一对应规则,对于(x0,y0)所对应的z值，记为：定义：或称为当时，函数的函数值对于(x0,y0)所对应的z值，记为：或称为当时，函数的函数值.全体函数值的集合称为函数的值域，记为：Z或Z(f).例如,二元函数:定义域为:圆域图形为中心在原点的上半球面.说明:二元函数z=f(x,y),(x,y)D的图形一般为空间曲面.例：求函数的定义

5、域解：要是函数有意义，必须满足：3-32-2例：求函数的定义域解：要是函数有意义，必须满足：用两种不等式表示平面区域用两种不等式表示平面区域xyo用两种不等式表示平面区域D：直线y=x，y=1，x=2围成。用两种不等式表示平面区域D：三、多元函数的极限定义2.设n元函数P0是D的聚点，若存在常数A,对一切记作:则称A为函数f当时的极限.都有:对任意正数,总存在正数,当n=2时,记二元函数的极限可写作：例1.设求证：证:故总有要证例2.设求证：证：故总有要证若当点函数趋于不同值或有的极限不存在，解:设P(x,y)沿直线y=kx趋于点(0,0),在点(0,0)的极限.

6、则可以断定函数极限则有k值不同极限不同!在(0,0)点极限不存在.以不同方式趋于时，例3.讨论函数例4.求解:因而此函数定义域不包括x,y轴则故四、多元函数的连续性定义3.设n元函数定义在D上,如果函数在D上各点处都连续,则称此函数在D上连续.如果存在否则称为不连续,此时称为间断点.则称n元函数连续,例如,函数在点(0,0)极限不存在,又如,函数上间断.故(0,0)为其间断点.在圆周结论:一切多元初等函数在定义区域内连续.定理：若f(P)在有界闭域D上连续,则*(4)f(P)必在D上一致连续.在D上可取得最大值M及最小值m;(3)对任意(有界性定理)(最值定理)(介值定

7、理)(一致连续性定理)闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:(证明略)解:原式例5.求例6.求函数的连续域.解:内容小结1.区域邻域:区域连通的开集2.多元函数概念n元函数常用二元函数(图形一般为空间曲面)三元函数有3.多元函数的极限4.多元函数的连续性1)函数2)闭域上的多元连续函数的性质:有界定理;最值定理;介值定理3)一切多元初等函数在定义区域内连续P11题2;4;5(3),(5)(画图);8P72题3;4思考与练习解答提示:P11题2.称为二次齐次函数.P11题4.P11题5(3).定义域P11题5(5).定义域P12题8